Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

More documents

Recommendations

Info

11.2 Analiza sredina tretmana Pretpostavimo da nas zanima samo populacijsko očekivanje µ + τ i varijable Y za tretman i (i = 1, 2, . . . , k). Pouzdani se interval za taj parametar konstruira pomoću studentizirane verzije statistike Y i. , a na osnovi sveukupnih podataka u uzorku. Dakle, 95%-pouzdan interval za µ + τ i je Y i. ± t 0.025 (n − k) √ ˆσ . ni Želimo li usporedivati parametre očekivanja dviju (od k različitih) potpopulacija, recimo za tretmane i i l (i, l ∈ {1, 2, . . . , k} i i ≠ l), tada to činimo pomoću razlike Y i. −Y l. njihovih procjenitelja. Vrijedi: Var[Y i. − Y l. ] = σ 2 ( 1 n i + 1 n l ). 95%-pouzdani interval za parametar τ i − τ l je Y i. − Y l. ± t 0.025 (n − k)ˆσ√ 1 n i + 1 n l . Konstrukcija 95%-pouzdanih intervala za sve moguće razlike parametara očekivanja tretmana nije preporučljiva jer je vjerojatnost istovremenog pokrivanja svih takvih intervala (a time i pouzdanost takve kombinacije intervala) manja od 0.95. S druge strane, budući da F -test kojim se testira nulhipoteza H 0 : τ i = 0 za sve i = 1, 2, . . . , k, u slučaju odbacivanja te hipoteze, ne kaže koje se dvije (ili više) srednjih vrijednosti tretmana značajno razlikuje, sasvim je prirodno zapitati se za koje grupe tretmana se njihove srednje vrijednosti značajno ne razlikuju. Način na koji se takve grupe odreduju ilustrirat ćemo na primjeru. Primjer 11.2 Na osnovi podataka iz primjera 11.1 odbacili smo nulhipoteza o homogenosti srednjih vrijednosti osiguranih svota polica osiguranja privatnih kuća u tri osiguravajuća društva. Želimo utvrditi koje se grupe osiguravajućih društava značajno razlikuju po srednjim vrijednostima izučavane varijable osigurane svote. Prvo, uredimo procjene tih srednjih vrijednosti po veličini: ȳ B. < ȳ A. < ȳ C. . Zatim promotrimo prvi par po veličini u gornjem uredenom nizu. To su ȳ B. < ȳ A. . Za zadanu razinu značajnosti, recimo 5%, izračunajmo najmanju razliku izmedu ȳ A. i ȳ B. za koju će razlika τ A − τ B biti značajno različita od nule. Ta razlika je t 0.025 (n − k)ˆσ √ 1 n A + 1 n B = 2.064 · √46.44 · √ 1 10 + 1 8 = 6.67. Budući da je ȳ A. − ȳ B. = 3.9 < 6.67, µ + τ B i µ + τ A se značajno ne razlikuju. Tu činjenicu možemo grafički predočiti podcrtavanjem njihovih procjena: ȳ B. < ȳ A. < ȳ C. . Sada isti postupak ponovimo na sljedećem paru u uredenom nizu: ȳ A. < ȳ C. . Uz istu razinu značajnosti, najmanja razlika uz koju će razlika τ C − τ A biti značajno različita od nule je: √ 1 t 0.025 (n − k)ˆσ + 1 = 2.064 · √46.44 √ 1 · n C n A 9 + 1 10 = 6.46. 104
Budući da je ȳ C. − ȳ A. = 5.2 < 6.46, µ + τ A i µ + τ C se značajno ne razlikuju. Dakle, ȳ B. < ȳ A. < ȳ C. . Primijetite da dobiveni rezultat nije u kontradikciji sa zaključkom testa budući da se µ+τ B i µ + τ C značajno razlikuju. Naime, √ 1 t 0.025 (n − k)ˆσ + 1 = 2.064 · √46.44 √ 1 · n C n B 8 + 1 9 = 6.8 < 9.1 = ȳ C. − ȳ B. . 11.3 Dodatne napomene F -test u analizi varijance za usporedbu k = 2 tretmana je ekvivalentan t-testu iz potpoglavlja 9.4.1 (situacija 2.) za usporedbu dviju normalno distribuiranih populacija. Naime, veza izmedu testnih <strong>statistika</strong> F iz ANOVA-e i T iz t-testa je T 2 = F . Nadalje, analiza rastava varijance odziva u regresijskoj analizi linearnog modela (10.3) može se takoder prikazati u ANOVA-tablici: izvor varijabilnosti stupnjevi slobode sume kvadrata srednji kvadrati test-stat. zbog regresije 1 SSR SSR 1 SSR SSE/(n−2) slučajne greške n − 2 SSE SSE n−2 — ukupno n − 1 SSTOT — — Primijetite da se nulhipoteza da odziv ne ovisi o nezavisnoj varijabli zapisuje u terminima iz poglavlja 9 kao H 0 : β = 0. t-test koji se koristi za testiranje te nulhipoteze je ekvivalentan F -testu iz ANOVA-e budući da za testnu statistiku T = ˆβ ˆσ√ 1 S xx vrijedi relacija T 2 = SSR H ∼ 0 F (1, n − 2). SSE/(n − 2) S druge strane, analiza varijance k tretmana ekvivalentna je regresijskoj analizi modela u kojoj je varijabla Y zavisna u odnosu na k − 1 nezavisnu varijablu koje sve poprimaju samo vrijednosti “0” ili “1”. 105
Page 1 and 2:
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matemat
Page 3 and 4:
4 Zajednička razdioba slučajnih v
Page 5 and 6:
10.2.7 Provjera modela . . . . . .
Page 7 and 8:
deskriptivne statistike, koriste se
Page 11 and 12:
elativna visina razred frekvencija
Page 13 and 14:
Primjer 1.8 Aritmetička sredina po
Page 15:
U sljedećem koraku definiramo donj
Page 18 and 19:
zovemo vjerojatnost na (Ω, F). Bro
Page 20 and 21:
Funkciju f X zovemo funkcijom gusto
Page 22 and 23:
2.7 Momenti Neka je X slučajna var
Page 24 and 25:
Geometrijska slučajna varijabla im
Page 26 and 27:
Vrijedi: E[X] = α + β (β − α)
Page 28 and 29:
0.4 0.3 0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1 2 3 In
Page 30 and 31:
2.9.2 Neprekidne razdiobe Neka je X
Page 32 and 33:
Poglavlje 3 Funkcije izvodnice 3.1
Page 34 and 35:
Primjer 3.5 Pomoću f.i.v., izraču
Page 36 and 37:
3.5 Funkcije izvodnice linearnih fu
Page 38 and 39:
Svojstva te funkcije: (G1) f X,Y (x
Page 40 and 41:
Primjer 4.3 Za slučajni vektor (X,
Page 42 and 43:
4.6 Kovarijanca i koeficijent korel
Page 44 and 45:
4.8 Konvolucije Neka su X i Y sluč
Page 46 and 47:
Primjer 4.9 Neka su X ∼ P (λ) i
Page 48 and 49:
Kompozicaja te funkcije i slučajne
Page 50 and 51:
Alternativno se koristi nestandardi
Page 52 and 53:
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -4 -3 -2 -1 1 2
Page 54 and 55: 5.2.3 Gama razdioba Neka je X 1 , X
Page 56 and 57: su statistike, dok uzorački drugi
Page 58 and 59: Dakle, S 2 ima χ 2 -distribuciju k
Page 60 and 61: 6.5 Fisherova F -razdioba Ako su U
Page 62 and 63: Dakle, procjenitelj metodom momenat
Page 64 and 65: Primjer 7.5 Neka je x = (x 1 , x 2
Page 66 and 67: Očito se ta jednadžba mora rješa
Page 68 and 69: Cramer-Raova donja granica. Primije
Page 70 and 71: Na primjer, ako je θ ↦→ g(X,
Page 72 and 73: Ta veličina je studentizirana verz
Page 74 and 75: 8.3.2 Parametar Poissonove razdiobe
Page 76 and 77: gdje su ˆθ 1 = X 1 /n 1 i ˆθ 2
Page 78 and 79: Poglavlje 9 Testiranje statistički
Page 80 and 81: Ako bi htjeli sprovesti dvostrani t
Page 82 and 83: 9.3.4 Testovi o parametru Poissonov
Page 84 and 85: 9.6 Testovi i pouzdani intervali Ob
Page 86 and 87: Zadnja smo dva razreda u tablici mo
Page 88 and 89: Dijagram rasprešenja: 5 4.5 4 ispl
Page 90 and 91: 10.1.2 Normalni model i inferencija
Page 92 and 93: Nije teško pokazati da se te procj
Page 94 and 95: 5 4.5 4 isplata 3.5 3 2.5 2 2 2.5 3
Page 96 and 97: Ta se slučajna varijabla kristi ka
Page 98 and 99: 10.2.8 Transformirani podaci U neki
Page 100 and 101: te τ i , odstupanje i-tog tretmana
Page 102 and 103: Primjer 11.1 Iz svakog od tri osigu
Page 106: Literatura [1] Subject 101: Statist
show all

Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?