Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

8.3.1 Vjerojatnost uspjeha u binomnoj razdiobi
Ako X ima binomnu razdiobu s parametrima (n, θ), gdje je θ vjerojatnost uspjeha, MLE
za θ je relativna frekvencija uspjeha:
ˆθ = X n .
X je, u stvari, zbroj n.j.d. Bernoullijevih varijabli koje čine slučajni uzorak iz populacije s
Bernoullijevom distribucijom.
Konstrukcija pouzdanog intervala za parametar θ zasniva se na statistici X koju ne
možemo uzeti za pivotnu veličinu jer ne ovisi o θ. Ali zato njezina funkcija vjerojatnosti
ovisi o θ. Neka je x opažena vrijednost od X. Tada 95%-pouzdani interval za θ odredimo
iz uvjeta da je
P θ (X ≤ x) ≥ 0.025, P θ (X ≥ x) ≥ 0.025. (8.3)
Preciznije, realizacija [ˆθ 1 (x), ˆθ 2 (x)] 95%-pouzdanog intervala je rješenje tog sustava nejednadžbi.
Dakle, [ˆθ 1 (X), ˆθ 2 (X)] je 95%-pouzdani interval za θ. Neka je
F (x|θ) =
(
x∑ n
θ
k)
k (1 − θ) k , x = 0, 1, . . . , n,
k=0
funkcija distribucije od X. Tada se sustav nejednadžbi (8.3) može zapisati u obliku:
F (x|θ) ≥ 0.025, 1 − F (x − 1|θ) ≥ 0.025.
Nije teško pokazati da je za 0 < x < n funkcija θ ↦→ F (x|θ) strogo padajuća, a θ ↦→
1 − F (x − 1|θ) strogo rastuća funkcija za θ ∈ ⟨0, 1⟩. Tada su granice pouzdanog intervala
[ˆθ 1 , ˆθ 2 ] rješenja jednadžbi:
F (x|ˆθ 2 ) = 0.025, 1 − F (x − 1|ˆθ 1 ) = 0.025.
Očito je da se te jednadžbe moraju numerički rješavati.
Ako je n velik, pouzdani se intervali mogu dobiti pomoću normalne aproksimacije binomne
razdiobe. Tada je pivotna veličina standardizirana verzija od X:
X − nθ
√
nθ(1 − θ)
∼: N(0, 1).
U primjenama se konstrukcija sprovodi pomoću nešto jednostavnije verzije navedene pivotne
veličine:
X − nθ
√
nˆθ(1 − ˆθ)
∼: N(0, 1),
dakle, one koja je dobivena iz početne zamjenom nepoznate vrijednosti od θ u izrazu za
standardnu devijaciju (nazivnik standardizirane verzije) sa procjenom ˆθ. Na taj način
dolazimo do aproksimativnog 95%-pouzdanog intervala za θ:
√
ˆθ(1 − ˆθ)
ˆθ ± 1.96 ·
n
.
73