Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

10.1.2 Normalni model i inferencija
Odgovarajući model za populacijsku razdiobu od (X, Y ) je bivarijatna normalna razdioba
s parametrima µ X , µ Y (populacijske sredine komponenata), σX 2 , σ2 Y (populacijske varijance
komponenata) i ρ (koeficijent korelacije komponenata). Podatke (10.1) možemo interpretirati
kao realizaciju slučajnog uzorka
(X, Y ) = ((X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X n , Y n ))
za vektor (X, Y ), a Pearsonov koeficijent korelacije (10.2) kao opaženu vrijednost statistike
R =
S XY
√
SXX · S YY
(uzorački koeficijent korelacije).
R je i MLE za parametar ρ, populacijski koeficijent korelacije.
Za konstrukciju pouzdanih intervala za ρ, odnosno za testiranje hipoteza o ρ, treba nam
uzoračka razdioba od R. Pokazuje se da je ta razdioba asimetrična s velikom varijancom.
Želimo li testirati jesu li X i Y korelirane varijable, dakle, nulhipotezu H 0 : ρ = 0, tada
je tesna statistika
R √ H
√ n − 2 ∼
0
t(n − 2).
1 − R 2
Postoji općenitiji, ali asimptotski rezultat koji nam omogućava testiranje nulhipoteza oblika
H 0 : ρ = ρ 0 , gdje je ρ 0 zadani broj takav da je |ρ 0 | < 1. Naime, vrijedi
W := 1 2 log 1 − R
1 + R ∼: N(1 2 log 1 − ρ
1 + ρ , 1
) za veliko n.
n − 3
Statistika W je Fisherova transformacija od R. Iz nje izvodimo testnu statistiku
Z =
√ n − 3
2
(log 1 − R
1 + R − log 1 − ρ 0
1 + ρ 0
) H 0
∼: N(0, 1) za veliko n.
Standardizirana verzija od W se koristi kao pivotna veličina u konstrukciji aproksimativnih
pouzdanih intervala za ρ na osnovi velikih uzoraka.
Primjer 10.3 Na osnovi podataka iz primjera 10.1, sprovedimo jednostrani test
H 0 : ρ = 0.9, H 1 : ρ > 0.9.
Budući da je r = 0.958, n = 10, opažena wrijednost od W je w = 1.921. Dakle, opažena
vrijednost testne statistike Z je z = (1.921 − 1.472)/0.378 = 1.19, pa je p-vrijednost
P(Z ≥ 1.19|H 0 ) ≈ 0.12. Prema tome, dokazi za odbacivanje H 0 su nedostatni, odnosno
procijenjena vrijednost za ρ nije značajno veća od 0.9.
Napomene:
1. Postojanje “outliera” indicira da je adekvatnost pretpostavke o normalnoj distribuiranosti
bivarijatne populacije upitna.
2. Kako samo jedna opažena vrijednost može imati značajan utjecaj na procjene populacijskih
sredina i varijance, isto tako može imati i znatan utjecaj na procjenu koeficijenta
korelacije.
90