Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

9.6 Testovi i pouzdani intervali
Obzirom na način kako su konstruirani, postoji direktna veza izmedu pouzdanih intervala
i testova. Ako je testna statistika (uz H 0 ) ista kao pivotna veličina i ako razina značajnosti
testa α odgovara pouzdanosti intervala od 1 − α, onda je veza sljedeća. Za sve one opažene
vrijednosti testne statistike koje se nalaze unutar granica pouzdanog intervala, H 0 se ne
odbacuje. U suprotnome se H 0 odbacuje. Pri tome dvostranim testovima odgovaraju
dvostrani pouzdani intervali, a jednostranim testovima odgovarajući jednostrani intervali.
U nekim slučajevima testna statistika i pivotna veličina nisu sasvim istoga oblika. Na
primjer, pri konstrukciju pouzdanog intervala za razliku proporcija, u nazivniku pivotne
veličine nalaze se procjene proporcija svake od populacija posebno, dok se u testnoj statistici
kojom se testira jednakost proporcija, u nazivniku nalazi procjena zajedničke proporcije.
Ipak, aproksimativno su ti nazivnici bliski pa i u tom slučaju možemo donositi zaključke o
nulhipotezama na bazi pouzdanih intervala kao i u ostalim slučajevima.
9.7 χ 2 -testovi
χ 2 -testovi se odnose na populacijske razdiobe kategorijalnih ili diskretnih numeričkih varijabli.
Testiranje se zasniva na usporedbi opaženih frekvencija f i i očekivanih (u skladu
s nulhipotezom) frekvencija e i i-tog razreda. Testna statistika je, u stvari, težinska mjera
udaljenosti tih frekvencija:
H = ∑ (f i − e i ) 2
.
e
i i
Ako vrijedi nulhipoteza, tada H ima aproksimativno χ 2 -razdiobu kada je uzorak velik.
Nulhipotezu odbacujemo ako je opažena vrijednost od H prevelika.
9.7.1 Test prilagodbe modela podacima
χ 2 -testom testiramo da li predloženi diskretni model za populacijsku razdiobu dobro objašnjava
opažene podatke. Drugim riječima, testiramo je li model dobro prilagoden podacima.
U tom slučaju, nulhipoteza H 0 je da se populacijska razdioba opažane varijable ravna po
zakonu razdiobe pretpostavljenog modela. Još kažemo da se podaci ravnaju po zakonu
razdiobe pretpostavljenom nulhipotezom H 0 .
Odredimo broj stupnjeva slobode razdiobe testne statistike. Pretpostavimo da opažana
varijabla ima k razreda. Budući da su frekvencije zavisne u smislu da je njihov zbroj fiksan
i jednak n (duljini uzorka), imamo jedan stupanj slobode manje. Ako pri tome još i po H 0
pretpostavljena populacijska razdioba ima r nepoznatih parametara koje treba procijeniti
iz uzorka (da bi se mogle izračunati očekivane frekvencije), tada gubimo još r stupnjeva
slobode. Dakle testna statistika H uz H 0 ima χ 2 -razdiobu s k − r − 1 stupnjem slobode.
Nepoznati parametri procjenjuju se metodom maksimalne vjerodostojnosti.
Budući da je razdioba testne statistike aproksimativno jednaka χ 2 -razdiobi, treba paziti
da ta aproksimacija bude zadovoljavajuće točna. To će biti ispunjeno ako nazivnici u izrazu
za H, dakle očekivane frekvencije, ne budu premale. Obično se zahtjeva da budu barem 5.
U nekim situacijama se prihvaća da je dovoljno da su veće od 1, ali uz uvjet da je barem
80% razreda frekvencije barem 5.
Primjer 9.4 Želim li testirati je li neka igraća kocka fer, prikladni model je uniformna
razdioba na skupu prvih šest prirodnih brojeva. Dakle, ako je X broj koji se okrene na
84