Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Primjer 3.5 Pomoću f.i.v., izračunane su f.i.m. sljedećih brojećih varijabli:
(a) za X binomnu (n, θ):
M X (t) = G X (e t ) = (pr.3.2) = (θe t + 1 − θ) n = (1 + θ(e t − 1)) n ;
specijalno, f.i.m. Bernoullijeve distribucije dobije se za n = 1;
(b) za X negativno binomnu (k, θ):
(
M X (t) = G X (e t θe t ) k
) = (pr.3.3) =
1 − e t ;
(1 − θ)
(c) za X ∼ P (λ):
M X (t) = G X (e t ) = (pr.3.4) = e λ(et −1) .
Primjer 3.6 Za X ∼ Γ(α, 1 λ
), f.i.m. je:
M X (t) = E[e tX ] =
=
Odavde je
+∞ ∫
0
e tx ·
( ) λ α
za t < λ.
λ − t
λ α
Γ(α) xα−1 e −λx dx =
λ α +∞ ∫
(λ − t) α
0
(λ − t) α
x α−1 e −(λ−t)x dx =
Γ(α)
M X(t) ′ = αλ α (λ − t) −(α+1) ⇒ E[X] = M X(0) ′ = α λ
M X(t) ′′ = α(α + 1)λ α (λ − t) −(α+2) ⇒ E[X 2 ] = M X(0) ′′ α(α + 1)
=
⇒ Var[X] = E[X 2 ] − E[X] 2 =
Specijalno, za X ∼ Exp(λ),
M X (t) =
α(α + 1)
λ 2
− α2
λ 2 = α λ 2 .
λ , za t < λ.
λ − t
λ 2
Ako je θ = E[X] = 1/λ,
Specijalno, za X ∼ χ 2 (n),
M X (t) = 1
1 − θt , za t < 1 θ .
M X (t) =
1
, za t < 1
(1 − 2t) n 2 2 .
Primjer 3.7 Neka je X ∼ N(µ, σ 2 ). Bez izvoda navodimo da je f.i.m. od X:
M X (t) = e µt+ σ2 t 2
2 .
34