Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

nezavisne, studentizirana verzija T β od ˆβ ima Studentovu razdiobu (vidjeti 6.4):
T β =
ˆβ − β Z
= √ ∼ t(n − 2). (10.5)
ˆσ√
1 U/(n − 2)
S xx
Slučajna se varijabla T β koristi kao pivotna veličina za konstrukciju pouzdanih intervala za
parametar β, te za testiranje hipoteza o vrijednostima od β. Na primjer, želimo li testirati
nulhipotezu da nema ovisnosti Y o X, tj. H 0 : β = 0, testna statistika će biti
ˆβ H ∼
0
t(n − 2).
ˆσ√
1
S xx
Primjer 10.5 Ponovo se vratimo primjeru 10.1. Na osnovi podataka iz tog primjera,
(a) procijenite 95%-pouzdan interval za koeficijent smjera regresijskog pravca β;
(b) testirajte
H 0 : β = 1, H 1 : β ≠ 1.
95%-pouzdan interval za β je
√
1
ˆβ ± t 0.025 (n − 2) · ˆσ .
S xx
Budući da je t 0.025 (8) = 2.306, opažena vrijednost tog intervala je
0.8823 ± 2.306 ·
√ 0.0732
= 0.8823 ± 0.2147.
8.4440
Nadalje, budući da taj interval sadrži vrijednost “1”, nulhipotezu H 0 iz (b) ne odbacujemo
uz značajnost od 5%.
10.2.6 Procjena i predvidanje srednjeg i individualnog odziva
Prvo, diskutirajmo problem predvidanja srednjeg odziva. Dakle, želimo procijeniti očekivanu
vrijednost od Y za zadanu vrijednost x 0 od X,
E[Y |X = x 0 ] = (kraće) = E[Y |x 0 ] = α + βx 0 ,
na osnovi podataka iz uzorka (10.1). Nepristrani procjenitelj za tu vrijednost je
Varijanca tog procjenitelja je:
Ê[Y |x 0 ] := ˆα + ˆβx 0 .
Var[Ê[Y |x 0 ]] = σ 2 ( 1 n + (x 0 − ¯x) 2
S xx
).
Nije teško pokazati da studentizirana verzija od Ê[Y |x 0 ] ima Studentovu razdiobu:
Ê[Y |x 0 ] − E[Y |x 0 ]
√
= (ˆα + ˆβx 0 ) − (α + βx 0 )
√
∼ t(n − 2).
1
ˆσ
n + (x 0−¯x) 2
1
S xx
ˆσ
n + (x 0−¯x) 2
S xx
95