Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

Poglavlje 6
Uzorkovanje i statističko
zaključivanje
O populacijskoj razdiobi varijable koju izučavamo informacije dobivamo iz uzorka uzetog iz
te populacije. Na primjer, procjenu populacijske srednje vrijednosti ili proporcije, odnosno
utvrdivanje istinitosti hipoteza o populacijskoj razdiobi donosimo na osnovi vrijednosti iz
uzorka.
6.1 Osnovne definicije
Sve definicije u ovom poglavlju temelje se na pretpostavci da su populacije beskonačne. Iako
je večina populacija koje su u fokusu interesa aktuara u stvarnosti konačna, na primjer,
osiguranici, police, zaposlenici, zgrade itd., njihova brojnost je dovoljno velika da se na njih
mogu primijeniti metode statističkog zaključivanja (inferencijalne statistike) o beskonačnim
populacijama.
Slučajni uzorak je niz n.j.d. slučajnih varijabli. Označavamo ga sa X. Na primjer, ako
se sastoji od n n.j.d. varijabli X 1 , X 2 ,..., X n , X je slučajni vektor
X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ).
Intuitivno, slučajni uzorak predstavlja niz mjerenja (opažanja) slučajnih vrijednosti izučavane
varijable X na članovima (jedinicama) odabranih u uzorak na slučajan način iz populacije.
Kažemo da se članovi biraju u uzorak na slučajan način ako svaki element iz populacije
ima jednaku šansu da bude izabran u uzorak i neovisno od drugih članova u uzorku. Uz
tu interpretaciju, dakle, varijable X 1 , X 2 ,..., X n su nezavisne i imaju distribuciju jednaku
populacijskoj distribuciji varijable X. Označimo sa f(x|θ) gustoću populacijske razdiobe
od X, dakle, razdiobu svake od varijabli u slučajnom uzorku. θ označava parametre te
razdiobe.
Uredenu n-torku brojeva x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) koja predstavlja realizaciju slučajnog
uzorka X zovemo opaženi uzorak.
Statistika je funkcija slučajnog uzorka koja ne sadrži nepoznate parametre. Na primjer,
uzoračka sredina
X = 1 n∑
X i
n
i uzoračka varijanca
S 2 = 1
n − 1
i=1
n∑
(X i − X) 2
i=1
55