Vjerojatnost i matematička statistika - Poslijediplomski specijalistički ...

pa je
P(Z < 1.96) = Φ(1.96) (2.9)
= 0.5 + 0.475 = 0.975
P(−1.96 < Z < 1.96) = Φ(1.96) − Φ(−1.96) (2.9)
= Φ 0 (1.96) − Φ 0 (−1.96) (2.8)
= 2 · 0.475 =
Slično se izračuna
= 0.950.
P(−2.576 < Z < 2.576) = 0.99 i P(−3 < Z < 3) = 0.997
Dakle, u 95% slučajeva će se vrijednosti normalne varijable od svoje očekivane vrijednosti
razlikovati za ne više od 1.96 standardnih devijacija, a u 99% slučajeva ta razlika neće biti
veća od 2.576 standardnih devijacija. Zadnji izračun kaže da se 99.7% svih realiziranih
vrijednosti normalno distribuirane varijable od matematičkog očekivanja neće razlikovati
za više od tri standardne devijacije. Ta tvrdnja se zove pravilo 3σ.
2.9 Funkcije slučajnih varijabli
Ako je X slučajna varijabla s poznatom distribucijom (zna se f X ili F X ) te ako je zadana
(dobra) realna funkcija g realne varijable, tada je Y = g(X) slučajna varijabla. Cilj nam
je odrediti razdiobu od Y , tj. izračunati gustoću f Y ili funkciju distribucije F Y .
2.9.1 Diskretne razdiobe
Ako je X diskretna, tada je i Y diskretna slučajna varijabla. Nadalje, ImY ⊆ Im g = g(R).
Budući da je za y ∈ ImY ,
P(Y = y) = P(
slijedi formula za gustoću od Y :
∪
{x∈ImX:g(x)=y}
f Y (y) =
{X = x})
∑
{x∈ImX:g(x)=y}
(P 3)
=
∑
{x∈ImX:g(x)=y}
f X (x), y ∈ ImY.
P(X = x),
Primjer 2.2 Neka je X binomna varijabla s parametrima n = 10 i θ ∈ ⟨0, 1⟩, i Y = sin π 2 X.
Tada je ImY = {−1, 0, 1} i g(x) = sin π 2
x. Prema gornjoj formuli je
( )
( )
∑
10
10
f Y (−1) =
f X (k) = θ 3 (1 − θ) 7 + θ 7 (1 − θ) 3
3
7
{0≤k≤10:sin π 2 k=−1} ( )
∑
5∑ 10
f Y (0) =
f X (k) = θ 2i (1 − θ) 2(5−i) 1 + (1 − 2θ)10
=
2i
2
{0≤k≤10:sin π 2 k=0} i=0
( )
( )
( )
∑
10 10 10
f Y (1) =
f X (k) = θ(1 − θ) 9 + θ 5 (1 − θ) 5 + θ 9 (1 − θ).
1 5 9
{0≤k≤10:sin π 2 k=1}
29