RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

4.5 Anvendelser, sikkerhed og fremtid 95
at bekræfte en sådan formodning). Dette ville have betydet, at vi i dag ikke
havde været i stand til at udnytte for eksempel Internettet i samme grad og
omfang som vi nu er vant til.
Cocks fik i 1997 lov af GCHQ til i et foredrag at offentliggøre sit og
Ellis’ arbejde med offentlig-nøgle kryptering og RSA. Dette skete den 18.
december, mindre end en måned efter at Ellis var død, den 25. november, i
en alder af 73 år.
4.5 Anvendelser, sikkerhed og fremtid
RSA bruges i dag i så udbredt grad på Internettet, at det næsten er umuligt
at forestille sig nettet uden RSA. Eksempelvis bruges RSA til online
bankforretninger såvel som autentification i forbindelse med e-handel og
andre pengetransaktioner over nettet. RSA er derudover en indkorporeret
del af diverse industrielle koncerners computernetværk, internt såvel som
eksternt, eksempelvis annoncerer Rolls Royce & Bentley Motor Cars deres
brug af RSA på nettet. Og det er ikke kun i forretningssammenhæng, at
RSA bruges til at sikre såvel kommunikationen indadtil som udadtil, diverse
regeringer og disses sikkerhedstjenester benytter sig i mindst lige så høj grad
af algoritmen. RSA-softwareløsninger findes i dag i utallige afskygninger,
hver især matchende netop de specifikke behov, som en given organisation,
statslig såvel som privat, måtte have. Udover brugen af RSA i forbindelse med
Internettet bruges RSA selvfølgelig også i alle mulige andre sammenhænge,
hvor sikker kommunikation er påkrævet, eksempelvis hver gang vi benytter
et kreditkort.
Den omfattende udbredelse af RSA gør det naturligvis attraktivt for ‘skumle
personager’ at forsøge at knække diverse implementeringer af algoritmen.
Vi har allerede tidligere berørt visse af de sikkerhedsmæssige aspekter af RSA
i forbindelse med den tidskrævende proces det er at primfaktorisere meget
store heltal, i RSAs tilfælde at faktorisere n i p og q. Men findes der andre
måder at knække algoritmen på? Den offentlige nøgle for RSA består som
tidligere set af heltallene n og e. De private parametre omfatter udover d, som
udgør halvdelen af den private nøgle, også p, q og φ(n). Kender man enten p
eller q kan man hurtigt beregne det andet primtal ved at dividere det kendte
op i n, og når man først kender primfaktoriseringen af n kan man beregne
φ(n) = (p − 1)(q − 1), udfra hvilken den private nøgle d er fastlagt. Da d
bestemmes udfra e og φ(n) = (p−1)(q−1) er φ(n) altså mindst lige så vigtig
at holde hemmelig som p og q selv. En angriber på et RSA-kryptosystem kan
knække dette, hvis han eller hun kender enten d, φ(n), p eller q. Altså er det
ikke nok at hemmeligholde p og q selv, informationer om p og q og disses
indbyrdes forhold må også hemmeligholdes. Kender en angriber eksempelvis
enten (p+q) eller (p−q) viser det sig, at man udfra denne viden er i stand til
at beregne φ(n), og derfra som ovenfor set bryde kryptosystemet (se opgaver
70 og 71). Selve φ(n) kendes der dog ingen metoder til at beregne udover at
kende p og q selv, så hvis blot man hemmeligholder disse og informationer om
dem skulle man kunne føle sig sikker overfor angreb anvendende φ(n). Det