RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
70 Tre vigtige sætninger <strong>for</strong> <strong>RSA</strong><br />
havde <strong>og</strong> der<strong>for</strong> ikke kunne være genstande <strong>for</strong> misbrug i politisk øjemed.<br />
Hvis Hardy havde levet tredive år længere ville han nok være blevet skuffet.<br />
Talteori fandt sine første praktiske anvendelser i <strong>for</strong>bindelse med kodningsteori<br />
<strong>og</strong> studiet af fejlkorrigerende koder i 1950’erne <strong>og</strong> 1960’erne. Og i 1970’erne<br />
fandt primtalsteori sin praktiske anvendelse i asymmetrisk krypt<strong>og</strong>rafi, eller<br />
nærmere bestemt <strong>RSA</strong>-kryptering. På dette tidspunkt var <strong>den</strong> elementære<br />
talteori over 2000 år gammel <strong>og</strong> det nyeste resultat brugt i <strong>RSA</strong>, Eulers<br />
sætning, lidt over 200 år gammelt. Det interessante spørgsmål i <strong>den</strong>ne<br />
<strong>for</strong>bindelse er d<strong>og</strong>, hvor<strong>for</strong> der skulle gå mere end 200 år førend man fandt<br />
på at anvende disse resultater i krypt<strong>og</strong>rafi, når nu ideen om kryptering i sig<br />
selv er lige så gammel som <strong>den</strong> elementære talteori. En del af svaret på dette<br />
spørgsmål har vi allerede fået præsenteret i kapitel 1. I næste kapitel skal vi<br />
<strong>for</strong>tsætte behandlingen af såvel dette som andre relaterede spørgsmål.<br />
3.6 Opgaver<br />
Opgave 32<br />
Forklar hvad der <strong>for</strong>stås ved begreberne: Modulo, kongruens, lineær kongruens,<br />
invers af heltallet a modulo m, Eulers φ-funktion, pseudoprimtal,<br />
pseudoprimtal i talbase n, Carmichael-tal, tvillingeprimtal.<br />
Opgave 33<br />
Hvad siger følgende sætninger: Den kinesiske restsætning, Fermats lille<br />
sætning <strong>og</strong> Eulers sætning.<br />
Opgave 34<br />
Forklar hvad der <strong>for</strong>stås ved et konstruktivt bevis <strong>og</strong> ved et ikke-konstruktivt<br />
bevis.<br />
Opgave 35<br />
Et værtshusspil, som spilles om øl af to personer, gå ud på at <strong>den</strong> ene<br />
spiller begynder med at sige 1 eller 2. Den an<strong>den</strong> spiller lægger da enten<br />
tallet 1 eller tallet 2 til det som <strong>den</strong> første spiller sagde <strong>og</strong> fremsiger<br />
resultatet. Første spiller lægger nu 1 eller 2 til det som an<strong>den</strong> spiller sagde,<br />
<strong>og</strong> sådan <strong>for</strong>tsættes spillet indtil man når 30. Den der ved at lægge 1 eller<br />
2 til det der sidst er sagt <strong>og</strong> derved får resultatet 30 er vinderen af spillet<br />
(<strong>og</strong> vinder en øl fra <strong>den</strong> an<strong>den</strong>).<br />
a. Spil et par omgange af spillet med din sidemand <strong>og</strong> <strong>for</strong>søg derved at<br />
finde ud af hvilken strategi man skal lægge <strong>for</strong> at vinde spillet. (Altså<br />
hvilke tal man skal ramme <strong>for</strong> at være sikker på at sige 30.)<br />
b. Spillet spilles nu igen men <strong>den</strong>ne gang med <strong>den</strong> ændring at der kun<br />
spilles til 20. Hvilke tal skal man nu ramme <strong>for</strong> at være sikker på at<br />
vinde?<br />
c. Ved hjælp af modulo-regning ønskes ovenstående strategier nu generaliseret<br />
til et spil, hvor man spiller til et vilkårligt men fastlagt naturligt<br />
tal T , <strong>og</strong> hvor man skiftes til at lægge de ligeledes vilkårlige men<br />
fastlagte naturlige tal n <strong>og</strong> m til. (Hvis man kan løse <strong>den</strong>ne opgave<br />
skulle der være basis <strong>for</strong> at vinde endnu flere øl på værtshusene.)
Change language