RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

62 Tre vigtige sætninger for RSA
Som sagt er Eulers sætning en generalisering af Fermats lille sætning.
Dette ses forholdsvist let ved at lade m’et i Eulers sætning være et primtal
p. Et primtal p vil selvfølgelig også være indbyrdes primisk med et givet
heltal n og ifølge det foregående ved vi, at Eulers φ-funktion af et primtal
p er lig p − 1. Indsættelse af disse værdier giver os præcist Fermats lille
sætning:
n φ(p) ≡ 1 (mod p) ⇔ n p−1 ≡ 1 (mod p).
Med andre ord er Fermats lille sætning altså et specialtilfælde af Eulers
sætning. Vi kan efterprøve dette med et lille eksempel.
Eksempel 3.33
Lad m = 5 og n = 6. Da 5 og 6 er indbyrdes primiske, sfd(5, 6) = 1, kan
vi benytte Eulers sætning. φ(5) = 4, hvorfor vi har at 6 4 ≡ 1 (mod 5). Da
5 udover at være et heltal faktisk også er et primtal kan vi opnå samme
resultat ved brug af Fermats lille sætning. Og rent faktisk var det det vi
gjorde i eksempel 3.26. ⋄
Ved hjælp af Eulers sætning skal vi vise endnu en lille sætning, et korollar
som vi i kapitel 4 skal bruge i beviset for korrektheden af RSA-algoritmen.
Korollar 3.34
Lad n og m være indbyrdes primiske heltal og lad t være et vilkårligt heltal.
Da gælder, at
n t ≡ n t (mod φ(m)) (mod m).
Bevis *
Sætningen siger altså, at man kan tage modulo φ(m) af eksponenten t.
For at vise dette vil vi begynde med at foretage følgende omskrivning af
heltallet n t :
n t = n t−k·φ(m)+k·φ(m) ,
hvor vi lader k være givet på en sådan vis, at det at fratrække k · φ(m)
svarer til at regne modulo φ(m). Vi forsætter omskrivningen:
Ifølge Eulers sætning har vi nu, at
n t =
t (mod φ(m))+k·φ(m)
n
= n t (mod φ(m)) · n k·φ(m)
= n t (mod φ(m)) · n (φ(m))k
.
n t (mod φ(m)) · n (φ(m))k
≡ n t (mod φ(m)) · 1 k (mod m).
Da 1 k på venstre-siden er lig 1 og da højre-siden jo er konstrueret således,
at den er lig n t får vi det ønskede resultat:
n t ≡ n t (mod φ(m)) (mod m).