RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.2 Den kinesiske restsætning 51
yang; etablerer symboler for stjernerne og stjernebillederne; manifesterer
dimensionerne af de tre lysende legemer [solen, månen
og stjernerne]; opretholder balancen mellem de fem faser [metal,
træ, vand, ild og jord]; regulerer begyndelsen og enden af de
fire årstider; formulerer oprindelsen af en myriade af ting; og bestemmer
principperne af de seks kunstarter [sømmelighed, musik,
bueskydning, kørsel med stridsvogn, kalligrafi og matematik]. [...]
Matematik har hersket i tusinder af år og er blevet brugt i stor
udstrækning uden begrænsninger. Hvis man negligeer studiet
af matematik vil man ikke være i stand til at opnå dygtighed
og grundighed. Der er i sandhed en hel del at mestre når man
betragter matematikken i perspektiv. Når man bliver interesseret
i matematik vil man blive fuldt ud beriget; på den anden side,
når man holder sig væk fra faget vil man opdage at man er
intellektuelt indskrænket. Når man studerer matematik let som
en ung mand med et åbent sind vil man øjeblikkeligt blive oplyst.
Hvis man derimod nærmer sig matematikken som en gammel
mand med en påståelig holdning vil man ikke blive dygtig deri.
Ønsker man derfor at lære matematik på frugtbar vis må man
disciplinere sig selv og stræbe efter perfekt koncentration; det er
ad denne vej at succes i læring sikres. (Yong & Se; 1992, side
151-152, oversat fra engelsk)
Som sagt er den sætning fra Sun Zi som RSA-algoritmen gør brug af kendt
som den kinesiske restsætning (for Sun Zis originale formulering af sætningen
se opgave 45).
Til vores fremstilling af den kinesiske restsætning har vi brug for
følgende lemma.
Lemma 3.16
Lad m1, m2, . . . , mn være parvis indbyrdes primiske heltal større end 1.
Hvis a ≡ b (mod mi) for i = 1, 2, . . . , n, da er a ≡ b (mod m), hvor
m = m1m2 · · · mn.
Bevis
At a ≡ b (mod m1m2 · · · mn) betyder jo, at
m1m2 · · · mn | a − b,
så det er altså det vi skal vise. Lad os nu betragte primfaktoriseringerne
af begge sider i dette udtryk. Antag, at p er et primtal der optræder i
primfaktoriseringen af m1m2 · · · mn. Ifølge lemma 2.25 har vi da, at p | mj
for 1 ≤ j ≤ n. Og i og med at mi’erne (1 ≤ i ≤ n) er parvis indbyrdes
primiske vil p udelukkende være en faktor i mj. Da forudsætningen for at
vores sætning gælder er, at a ≡ b (mod mi) for i = 1, 2, . . . , n har vi altså
givet, at mj | a−b. Fra sætning 2.3 (iii) ved vi da, at p | a−b og tilmed må
p optræde mindst lige så mange gange som faktor i a − b som den gør som
faktor i m1m2 · · · mn. Men det vi så netop har vist er jo, at hver potens
p r i primfaktoriseringen af venstresiden, m1m2 · · · mn, også optræder i
primfaktoriseringen af højresiden, a−b. Derfor må m1m2 · · · mn | a−b.