RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

30 Elementær talteori
Sætning 2.19
Lad a, b og c være positive heltal således, at a og b er indbyrdes primiske
og lad endvidere a | bc. Da gælder, at a | c.
Bevis
Da sfd(a, b) = 1 findes der ifølge Bézouts identitet heltal s og t, således
at sa + tb = 1. Ved at gange igennem med c får vi, at csa + ctb = c.
Af sætning 2.3 (ii) følger, at a | ctb, da vi jo som forudsætning har at
a | bc. Da vi således har, at a | csa og a | ctb følger af sætning 2.3 (i), at
a | csa + ctb, altså at a | c.
2.3 Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning
Som sagt har nogle af heltallene en hel speciel egenskab – en egenskab der
har gjort dem til genstand for studier igennem årtusinder – nemlig at det
for et sådant heltal kun er tallet selv og 1 der går op i tallet. Disse heltal
kaldes for primtal. En mere formel definition af primtal er den følgende.
Definition 2.20: Primtal
Et heltal p > 1 kaldes et primtal, hvis de eneste positive faktorer i p er 1
og p selv.
Strengt taget kunne man godt have medregnet tallet 1 som værende et
primtal, men det viser sig at mange ting bliver lettere, hvis man ikke gør
det. Det første, og eneste lige primtal (hvorfor?), er således tallet 2.
Eksempel 2.21
Primtallene op til 100 er:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Heltal der ikke er primtal er sammensatte tal, disse kan vi også definere
formelt.
Definition 2.22: Sammensat tal
Et heltal n kaldes et sammensat tal, hvis og kun hvis der eksisterer et
heltal a således, at a | n og 1 < a < n.
Eksempel 2.23
Heltallet 6 = 2 · 3, hvor såvel 2 som 3 opfylder kriteriet for a i definition
2.22. Altså er 6 et sammensat tal. ⋄
I og med at både 2 og 3 er primtal siges disse også at være primdivisorer
i det sammensatte tal 6. Når man på denne måde splitter et heltal op
i et produkt af primtal siger man også, at man har primfaktoriseret
heltallet. Grunden til at der er tale om primfaktoriseringen og ikke blot
en primfaktorisering er, at denne for et givet heltal er entydig (på nær
⋄