RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

4.2 RSA-kryptering og dekryptering 83
Bevis
Vi skal vise, at C d er kongruent med M modulo n. Vi omskriver først
udtrykket for C d på følgende vis:
D(C) ≡ C d ≡ (M e ) d = M ed (mod n).
Vi skal herfra dele beviset op i to tilfælde: (1) hvor n og M er indbyrdes
primiske og (2) hvor de ikke er.
(1) Hvis sfd(n, M) = 1 ved vi fra korollar 3.34 til Eulers sætning, at
M ed ≡ M ed (mod φ(n)) (mod n).
Da φ(n) = (p − 1)(q − 1) kan vi omskrive ovenstående til
M ed ≡ M ed (mod (p−1)(q−1)) (mod n).
Da vi har at ed ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)), hvilket jo er det samme som
ed modulo (p − 1)(q − 1) = 1, får vi i ovenstående
Da jo C d ≡ M ed (mod n) følger, at
M ed ≡ M 1 ≡ M (mod n).
C d ≡ M (mod n),
hvilket var det vi skulle vise.
(2) Hvis n og M ikke er indbyrdes primiske må de mindst have én
faktor tilfælles. Da n har primfaktoriseringen pq må altså enten p | M
eller q | M. Vi lader nu q være den fælles faktor (hvis den fælles faktor
er p kan vi blot omdøbe q og p og beviset vil være det samme). Hvis
q | M, altså M ≡ 0 (mod q), har vi naturligvis også, at q | M ed , det vil
sige M ed ≡ 0 (mod q). Af dette følger at M ed ≡ M (mod q), hvilket vi, da
M ed = C d , kan skrive som
C d ≡ M (mod q).
Hvis vi nu blot kan vise, at C d ligeledes er kongruent med M modulo p, så
har vi ifølge den kinesiske restsætning, sætning 3.18, da jo p og q er primtal
og derfor nødvendigvis indbyrdes primiske, at C d er kongruent med M
modulo pq, altså C d ≡ M (modn). Vi skal derfor vise, at C d ≡ M (modp),
og kan vi det har vi også korrektheden af RSA i tilfældet sfd(n, M) �= 1.
Vi bemærker, at hvis ed ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)), så findes der et
heltal k således, at ed = 1 + k(p − 1)(q − 1). Det følger heraf, at vi kan
omskrive udtrykket for C d på følgende vis:
C d ≡ M ed (mod n)
≡ M 1+k(p−1)(q−1) (mod n)
≡ M · M k(p−1)(q−1) (mod n)
≡ M · (M (p−1) ) k(q−1) (mod n)