RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

74 Tre vigtige sætninger for RSA
Opgave 47
Beregn for følgende værdier af m Eulers φ-funktion, φ(m):
a. m = 4.
b. m = 10.
c. m = 13.
d. m = 12.
e. m = 30.
Opgave 48
Undersøg hvilke af de i opgave 47 givne m-værdier der opfylder betingelserne
for Eulers sætning, hvis n = 3. For de som gør, udregn da n φ(m) og
godtgør at dette tal er kongruent med 1 modulo m.
Opgave 49
Vis, at φ(p k ) = p k (1 − 1/p) når p er et primtal og k > 0 er et heltal.
Opgave 50
Opskrive tallene fra 1-100 i et 10 × 10 skema og udsæt derefter disse for
Eratostenes’ si. Hvilke mønstre eller systemer kan du se, når Eratostenes’
si opererer på et skema som dette?
Opgave 51
Forklar hvordan Fermats lille sætning kan bruges til at teste om et tal er
et primtal – den såkaldte Fermats test – og løs derefter følgende opgaver:
a. Ved hjælp af Fermats test med n = 2 bestem da hvilke af fire følgende
tal som man med sikkerhed kan konkludere er sammensatte tal: 103,
117, 341, 561. (Vink: Computerens lommeregner kan med fordel bruges
til dette.)
b. Udsæt nu de tal, af de fire ovenfor, som vi ikke med sikkerhed kan
vide om er sammensatte tal for Fermats test med n = 3. Tal som
kan konkluderes sammensatte nu, men ikke blev det før, er såkaldte
pseudoprimtal. Hvilke tal er herefter tilbage?
c. Kan man sige noget om de tilbageværende tal?
Opgave 52
Forklar hvorfor det netop er Carmichael-tallene og ikke pseudoprimtallene
i sig selv der spolerer alt håb for Fermats test.
Opgave 53
Forklar hvad Wilsons sætning siger. Forklar dernæst hvordan Wilsons
sætning kan bruges til at teste om et tal er et primtal og diskuter, hvorvidt
Wilsons sætning synes hensigtsmæssig til brug i en sådan test.
Opgave 54
Opskriv en liste af 20 på hinanden følgende sammensatte tal.