RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.3 Fermats lille sætning 53
Ved at sammenskrive udtrykkene for x og y ser vi, at der for hvert i,
(1 ≤ i ≤ n), må gælde, at x ≡ y (mod mi). Men af lemma 3.16 følger det
da umiddelbart, at x ≡ y (mod m), hvilket var det vi ønskede at vise.
Bemærk, at eksistensdelen af beviset for den kinesiske restsætning i
modsætning til beviset for aritmetikkens fundamentalsætning er et konstruktivt
bevis. Det vil sige, at vi kan bruge konstruktionen anvendt i
beviset til at løse et givet system af kongruenser. Lad os se et eksempel.
Eksempel 3.19
Lad der være givet systemet bestående af fire følgende ligninger:
x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 4 (mod 11)
Da 2, 3, 5 og 11 alle er primtal og derfor parvis indbyrdes primiske kan
vi benytte den kinesiske restsætning til at bestemme x, som vil være
entydig modulo m = m1m2m3m4 = 2 · 3 · 5 · 11 = 330. Vi beregner i
overenstemmelse med notationen i beviset følgende:
M1 = 330
2 = 165, M2 = 330
3 = 110, M3 = 330
5 = 66, M4 = 330
= 30.
11
Det næste skridt er at bestemme de inverse yi af Mi modulo mi for
i = 1, 2, 3, 4. Dette kan gøres forholdsvist let enten blot ved inspektion, da
moduliene er forholdsvis små, eller ved mere systematisk brug af Euklids
algoritme (jævnfør eksempel 3.14). Vi finder y1 = 1, da 1·165 ≡ 1(mod2);
y2 = 2, da 2 · 110 ≡ 1 (mod 3); y3 = 1 da 1 · 66 ≡ 1 (mod 5); og y4 = 7,
da 7 · 30 ≡ 1 (mod 11). Vores løsning er derfor
x = a1M1y1 + a2M2y2 + a3M3y3 + a4M4y4
= 1 · 165 · 1 + 2 · 110 · 2 + 3 · 66 · 1 + 4 · 30 · 7
= 1643
≡ 323 (mod 330).
Så løsningerne er altså af formen 323 + 330k, hvor k er et heltal. ⋄
3.3 Fermats lille sætning
I har måske hørt tale om Fermats sidste sætning, undertiden også omtalt
som hans store sætning, der siger, at ligningen x n + y n = z n ingen ikketrivielle
heltalsløsninger har for n > 2. For n = 2 har ligningen uendeligt
mange løsninger, de såkaldte Pytagoraiske tripler, eksempelvis x = 3, y = 4
og z = 5. Til trods for Fermats nedskriblede bemærkning i margin i hans
oversatte udgave af den græske matematiker Diophantus’ (cirka 200-284)
Arithmetica – »Jeg har opdaget et i sandhed bemærkelsesværdigt bevis som
denne margin er for lille til at rumme« – gik der over 350 år førend et bevis
blev fundet. Sætningen blev endelig bevist af englænderen Andrew Wiles
i 1995 og Wiles’ bevis bygger i så høj grad på nyere matematik, at det i