RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

4 RSA-algoritmen Diffie og Hellmans artikel indeholdende ideen om offentlig-nøgle kryptering og brugen af en envejsfunktion blev genstand for stor interesse mange steder efter udgivelsen i 1976, men den blev kun genstand for realisering ét sted. Dette sted var på 8. sal af MITs institut for datalogi. Her sad tre unge forskere som tilsammen skulle komme til at udgøre et frugtbart team i realiseringen af ideen: Ronald Rivest, Adi Shamir og Leonard Adleman. Rivest var datalog med en bemærkelsesværdig evne til at absorbere nye ideer og anvende dem i utænkelige sammenhænge. Tilmed holdt han sig altid orienteret i de nyeste videnskabelige artikler. Shamir var ligeledes datalog og besad en uvurderlig evne til at betragte et problem og derefter trænge igennem til dettes kerne. Rivest og Shamir var begge optaget af kryptering og problemet med nøgledistribution og kom derfor vældigt ‘op at køre’, da de blev bekendt med Diffies og Hellmans ideer. Adleman var matematiker (talteoretiker) og ikke hverken bekendt med eller i begyndelsen interesseret i kryptering og nøgledistribueringsproblemet. Ikke desto mindre lykkedes det Rivest at overbevise Adleman om den rolle som matematik havde at spille i genereringen af Adi Shamir (1952-), Ronald Rivest (1948-) og Leonard Adleman (1945-). 77
78 RSA-algoritmen kandidater til envejsfunktioner opfyldende Diffie og Hellmans krav til et offentlig-nøgle system. Arbejdsproceduren imellem de tre blev således, at Rivest og Shamir i løbet af det næste år ville finde på et hav af énvejsfunktioner og Adlemans job var så at teste, hvorvidt disse opfyldte de givne krav. Forfatteren Thomas A. Bass foretog i 1995 et interview med Adleman, hvori denne blandt andet fortalte om sit arbejde med kryptografi. Nedenstående er et uddrag af denne artikel. Efter at have afsluttet sin universitetsuddannelse i ’76 [...] med en ph.d. i datalogi (hans afhandling omhandlede logik og talteori) [...] tog Adleman et undervisningsjob på MIT til US$13.000 om året. To andre unge forskere, Ron Rivest og Adi Shamir, sad i nabokontorerne og de blev alle snart gode venner. Men Rivest og Shamir havde en passion som i begyndelsen ikke blev delt af Adleman. En dag, det følgende år, bemærkede Adleman at Rivest havde et vildt udtryk i øjnene. Rivest tvang et udkast til en artikel af Whitfield Diffie og Martin Hellman ind i hænderne på Adleman og annoncerede deres teoretiske opdagelse af offentlignøgle kryptografi, en ny måde at indkode information på. Præcis hvordan resultatet kunne implementeres var stadig ikke kendt. Dette krævede noget ved navn en envejsfunktion – nem at beregne i en retning, men praktisk talt umulig at beregne i den modsatte retning. [...] Adlemans venner kunne ikke holde op med tale om envejsfunktioner og hemmelig kodebrydning og til sidst smittede deres entusiasme. Rivist og Shamir blev ved med at finde på ideer til, hvordan man kunne implementere et offentlig-nøgle kryptosystem, og Adleman, talteori-eksperten, blev anvist jobbet med at finde huller i disse. I løbet af de næste par måneder knækkede han 42 potentielle systemer. Nogle involverede ligninger som kunne løses i løbet af minutter, andre krævede en dag eller to med koncentreret tænkning. En nat [...] blev Adleman vækket ved et telefonopkald. Det var Rivest med offentlig-nøgle kryptosystem nummer 43. »Jeg vidste han havde fundet på det uovervindelige system«, siger Adleman, »man får en fornemmelse for disse ting, hvis man tænker længe nok på dem; min æstetiske dømmekraft fortalte mig, at han endelig havde gjort det.« Rivest blev oppe hele natten og skrev udkastet til en forskningsartikel, som han præsenterede for sine kollegaer den følgende morgen. Artiklen blev udgivet i February 1978 Communications of the ACM med fælles forfatterskab af Rivest, Shamir og Adleman, artiklens officielle titel var A Method for Obtaining Digital Signatures and Public- Key Cryptosystems. (Metoden er i dag i vid udstrækning kendt under gruppens initialer RSA.) »Jeg troede, at dette ville være det ubetydeligste af alt mit arbejde«, siger Adleman. »Jeg var så naiv med hensyn til kryptografi og dets anvendelser.« Snart var de tre internationale skikkelser. Post fra hele verden begyndte at hobe sig op i Rivests kontor, inklusive mistænkeligt udseende breve fra forsvarsministeriet i Bulgarien. Så begyndte National Security
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15:
1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27:
1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29:
2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31:
2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116: 108
Page 117: 110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?