RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.2 Euklids algoritme og Bézouts identitet 27
Bevis
Hvis vi kan vise, at mængden af fællesdivisorer af a og b er lig mængden
af fællesdivisorer af b og r, så må der nødvendigvis gælde, at sfd(a, b) =
sfd(b, r), fordi hvis mængderne er de samme så må det største element i
de to mængder jo også være det samme.
Antag først, at vi har et heltal d hvorom der gælder, at d | a og d | b.
Ifølge sætning 2.3 (ii) findes der da et heltal q således, at d | bq og der vil
også gælde at d | −bq. Ifølge sætning 2.3 (i) har vi, da d | a (per antagelse)
og d | −bq, at d | a − bq. Da r = a − bq har vi altså, at d | r. Altså vil
enhver fællesdivisor af a og b også være en fællesdivisor af b og r.
Dernæst antages, at et heltal d er divisor i både b og r, altså at d | b og
d | r. På tilsvarende vis som ovenfor kan vi her udlede, at d | bq + r = a,
altså at enhver fællesdivisor af b og r også er en fællesdivisor af a og b.
Mængden af fællesdivisorer for a og b henholdsvis b og r er altså ens,
hvorfor de to par af heltal også må have samme største fællesdivisor.
Eksempel 2.13
Hvis vi har 36 = 24 · 1 + 12 svarende til a = bq + r vil sfd(36, 24) =
sfd(24, 12). Vi ved fra tidligere, at sfd(36, 24) = 12 og at sfd(24, 12) også
er lig 12 er let at overbevise sig om. ⋄
Nu er vi klar til at formulere Euklids algoritme.
Algoritme 2.14: Euklids algoritme
Lad inddata i algoritmen være to heltal a og b med b > 0 og a ≥ b. Første
skridt er at sætte a = r0 og b = r1. De følgende skridt består i at anvende
sætning 2.11 gentagende gange, hvorved fås:
r0 = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3
.
rn−3 = rn−2qn−2 + rn−1
rn−2 = rn−1qn−1 + rn
rn−1 = rnqn,
hvor r0 > r1 > r2 > . . . ≥ 0. Uddata for algoritmen er den sidste rest rn
forskellig fra 0 i følgen af rester ri for i = 1, 2, . . . , n. Denne rest er lig
sfd(a, b).
Fra afsnit 1.4 ved vi at en algoritme bør opfylde syv krav. Opfyldelsen
af de fleste af disse krav følger forholdsvist nemt af formuleringen af
algoritmen ovenfor, men to af dem kræver lidt mere argumentation.
Sætning 2.15
Der gælder, at Euklids algoritme opfylder kravene om terminering og
korrekthed, hvor der med korrekthed forstås, at sfd(a, b) = rn.