RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

3.3 Fermats lille sætning 55 Til vores moderne fremstilling af Fermats lille sætning bliver vi nødt til at have en håndfuld andre sætninger på banen først. Men som vi skal se vil vi i beviserne for disse heldigvis ofte kunne støtte os til en del af de resultater vi allerede har vist i de foregående afsnit. Mere præcist skal vi basere vores bevis for Fermats lille sætning på en anden sætning kendt som Wilsons sætning og for at bevise denne har vi brug for to lemmaer. Lemma 3.20 Lad p være et primtal. De eneste løsninger x til ligningen x 2 ≡ 1 (mod p) er de der opfylder ligningerne x ≡ 1 (mod p) og x ≡ −1 (mod p). Bevis At heltal x er løsninger til x 2 ≡ 1 (mod p) vil sige, at p | x 2 − 1. Men da (x 2 − 1) = (x + 1)(x − 1) er vi altså ude efter x’er for hvilke der gælder, at p | (x + 1)(x − 1). Fra lemma 2.25 ved vi, at dette kun er tilfældet, hvis enten p | x + 1 eller p | x − 1. Men det er jo det samme som at x ≡ 1 (mod p) eller x ≡ −1 (mod p). Værd at bemærke i denne sammenhæng er, at −1(modp) jo er det samme som p − 1 (mod p). Vi skal bruge dette i beviset for det næste lemma. Lemma 3.21 Hvis p er et primtal gælder der, at de positive heltal r, 1 < r dens inverse modulo p. Bevis Vi bemærker først, at alle positive heltal r og derfor ikke har andre divisorer end 1 og sig selv. Af sætning 3.13 følger da, at alle positive heltal r og at denne inverse er entydig blandt heltallene r < p. Når alle heltal r denne måde har en entydig invers må vi kunne inddele disse i par bestående af et heltal og dets inverse. Det eneste mulige problem er, hvis et heltal er sit eget inverse, i hvilket tilfælde vi ikke får et par. Ifølge lemma 3.20 er det dog kun heltallene 1 og −1 (det vil sige p − 1) der er deres egne inverse modulo p. Derfor kan alle positive heltal r med 1 < r dens inverse. Og der findes netop (p − 1 − 2)/2 = (p − 3)/2. Nu kan vi så vise den såkaldte Wilsons sætning, opkaldt efter den engelske matematiker John Wilson (1741-1793) som fandt sætningen omkring 1760. Matematikhistoriske studier har dog senere vist, at den tyske matematiker Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) kendte resultatet allerede i 1683. Imidlertid publicerede Leibniz ikke noget derom, og det gjorde Wilson faktisk heller ikke. Første gang sætningen så dagens lys var da en anden engelsk matematiker, Edward Waring (1736-1798), publicerede den, men med reference til
56 Tre vigtige sætninger for RSA Wilson. Værd at bemærke er at hverken Wilson eller Waring beviste resultatet, det blev først gjort af den franske matematiker Joseph-Louis Lagrange i 1771. Det følgende bevis er dog ikke Lagranges, men derimod et nyere et. Sætning 3.22: Wilsons sætning Hvis p er et primtal gælder der, at (p − 1)! ≡ −1 (mod p). (Bemærk fakulteten.) Bevis For at udregne (p − 1)! = 1 · 2 · · · (p − 2) · (p − 1) kan vi gruppere produktet på højresiden i par af heltal som er hinandens inverse. At vi kan dele højresiden op i par følger af, at p er et primtal og derfor ulige (for p > 2), hvorfor p − 1 er et lige tal og fakultet af et lige tal er et produkt af et lige antal tal. Da hvert sådant par giver anledning til produktet 1 modulo p vil det samlede produkt modulo p være lig produktet af de eneste uparrede elementer, nemlig 1 og p − 1, altså 1 · (p − 1) = p − 1. Og da p − 1 (mod p) er det samme som −1 (mod p) har vi vist Wilsons sætning. Eksempel 3.23 Lad os betragte primtallet 5. Vi har, at (5 − 1)! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 og ganske rigtigt gælder, at 24 ≡ −1 (mod 5). ⋄ Ofte er det nyttigt at have Wilsons sætning på en anden form, nemlig den af følgende korollar, og faktisk var Lagranges bevis for Wilsons sætning i 1771 netop et bevis for denne version af sætningen. Korollar 3.24 Hvis (n−1)! ikke er kongruent med −1 modulo n, så er n ikke et primtal. Nu hvor vi har Wilsons sætning i baghånden er vi i stand til bevise Fermats lille sætning, så lad os se hvad denne siger. Sætning 3.25: Fermats lille sætning Hvis p er et primtal og n er et vilkårligt heltal, hvorom det gælder at p ∤ n, så er n p−1 ≡ 1 (mod p). Bevis Beviset for Fermats lille sætning kan for overskuelighedens skyld opdeles i tre dele. (1) Lad der være givet heltallet n, hvorom gælder at p ∤ n. Vi skal begynde med, at argumentere for at ingen to heltal 1n, 2n, 3n, . . . , (p − 1)n er kongruente modulo p. Dette argumenterer vi for ved en modstrid. Antag derfor, at der er to sådanne heltal, in og jn for 1 ≤ i < j < p,
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?