RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.5 Uløste problemer i talteori 67
for funktionen π(n) når man lader n vokse. En af de første som opstillede
et estimat for π(n) var Gauss, som gjorde dette i 1792 i en alder af kun
femten år. I og med at primtalssætningen kun er et estimat er den genstand
for en vis usikkerhed, eller sagt med andre ord så har den en fejlmargin, og
det er her Riemann-hypotesen kommer ind i billedet. Størrelsen af fejlleddet i
primtalssætningen afhænger nemlig af, hvorvidt Riemann-hypotesen er sand
eller ej. I 1901 blev det vist, at hvis Riemann-hypotesen er sand, så kan man
beregne dette fejlled præcist. Man har da at π(n) er lig Gauss’ estimat plus
dette præcist angivne fejlled. En sådan præcis angivelse af antallet af primtal
mindre end et tal n kan for eksempel være nyttig hvis man vil være sikker
på, at man har fundet samtlige primtal mindre end n.
Riemann-hypotesen er i dag et af de matematiske problemer der ligefrem
er udlovet en dusør på, idet hypotesen indgår som et af de syv Millennium
Prize Problems. 2 Be- eller afviser man således hypotesen vil man få én million
dollars udbetalt af Clay Mathematics Institute i Cambridge, Massachusetts.
Pengepræmier i forbindelse med løsningen af ‘genstridige’ matematiske problemer
er efterhånden ikke nogen ualmindelighed og inden for talteorien findes
der flere af slagsen. Eksempelvis modtog Wiles Wolfskehl-prisen for beviset af
Fermats sidste sætning, en pris som oprindeligt var på et to-cifret millionbeløb,
men som inflationen i Tyskland efter første verdenskrig havde reduceret til
cirka 50.000 dollars. Set fra vores perspektiv kan Riemann-hypotesen, i fald
den er sand, også gå hen og have en betydning for RSA-kryptering, hvilket vi
skal berøre igen i næste kapitel. Men RSA-kryptering er langt fra det eneste
som sandheden af formodningen vil have en betydning for. Rent faktisk har
en hel del matematikere set sig nødsaget til at basere deres arbejde på en
antagelse om at hypotesen er sand, for at nå deres egne mål. Dette er også
grunden til at der fortrinsvist tales om en hypotese frem for en formodning.
Betegnelsen en hypotese antyder i højre grad, at der er tale om en nødvendig
antagelse som matematikere foretager for at opstille teorier. En formodning
derimod repræsenterer en forudsigelse af, hvordan matematikere tror deres
verden opfører sig. I tilfælde af at Riemann-hypotesen en dag vises sand vil
sandheden af adskillige andre matematiske resultater således følge med i
købet.
Et eksempel på en formodning inden for talteori er netop den tidligere
nævnte Goldbachs formodning. Denne blev i sin nuværende form fremsat
af Euler efter han havde modtaget et brev fra Goldbach i 1742. Goldbach
beskrev i brevet nogle af hans overvejelser angående, hvorledes heltal kan
udtrykkes som summer af primtal. Specielt påpegede han, at han mente,
at ethvert heltal (større end 2) kan udtrykkes som summen af tre primtal.
På dette tidspunkt var det stadig ikke helt afklaret, om det var smartest at
regne 1 som et primtal eller ikke, og Goldbach regnede således 1 for værende
primtal. Euler var dog ikke sen til at indse, at man kunne opstille den stærkere
formodning, at ethvert lige tal (større end 2) kan skrives som summen af
to primtal (når man ikke regner 1 for at være et primtal). Og det er denne
2 En beskrivelse af problemerne kan findes på følgende hjemmeside: http://www.
claymath.org/millennium/