RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

100 RSA-algoritmen
Opgave 68
I afsnit 4.3 anvendte vi sammen med p = 53 og q = 61 e-værdien 23.
Imidlertid er valget af e ikke entydigt.
a. Godtgør ved hjælp af Euklids algoritme at e = 17 også opfylder de
givne krav, altså at sfd(e, φ(n)) = sfd(17, 3120) = 1.
b. (Ind)krypter beskeden RIVEST ved brug af den offentlige nøgle KE =
(3233, 17).
c. (Ind)krypter beskeden SHAMIR ved brug af den offentlige nøgle KE =
(3233, 17).
Opgave 69
Når vi i opgave 68 har udskiftet e-værdien i den offentlige (ind)krypteringsnøgle,
må vi også udskifte d-værdien i den private dekrypteringsnøgle.
a. Arbejd dig baglæns igennem Euklids algoritme for sfd(17, 3120) for at
bestemme værdien af d.
b. Dekrypter beskeden 2770 1471 1542 ved brug af den private nøgle
KD = (3233, d).
c. Dekrypter beskeden 0572 1695 0416 ved brug af den private nøgle
KD = (3233, d).
Opgave 70
Hvis man kender p + q kan φ(n) beregnes ved at trække p + q fra n og
lægge 1 til. Med udgangspunkt i φ(n) = (p − 1)(q − 1) vis da dette.
Opgave 71
Hvis man kender p − q kan man udregne φ(n) fra p − q ved formlen:
φ(n) = (n + 1) − � (p − q) 2 − 4n.
Med udgangspunkt i resultatet fra opgave 70 vis da, hvordan man kommer
frem til denne formel. (Vink: Du skal benytte dig af tricket med at omskrive
p + q til � (p + q) 2 samt at skrive 2pq som −2pq + 4pq.)
Opgave 72
Diffie-Hellman-Merkel nøgle-udveksling (se beskrivelsen i afsnit 1.3) baserer
sig på følgende matematiske envejsfunktion:
Y x (mod P ),
hvor Y og P , med Y < P , er de to parameterværdier Alice og Bob aftaler
til at begynde med. Antag, at Alice og Bob aftaler parametrene Y = 7
og P = 11 og at Alice derefter vælger sin hemmelige x-værdi, tidligere
kaldet a, til at være 3 og at Bob sætter sin, tidligere kaldet b, til at være
6.
a. Udregn nu henholdsvis Alices og Bobs udtryk: 7 3 (mod11) og 7 6 (mod11).
Alice og Bob udveksler nu deres resultater, tidligere kaldet α og β, og
udregner henholdsvis β 3 (mod 11) og α 6 (mod 11).