RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

4.3 Et udførligt eksempel 87
Alice sender nu denne kryptotekst til Bob. Det første Bob gør er at
bryde den op i blokke på fire cifre:
0255 1391 1046 1733 1745 1554 1808.
Bob skal nu bruge sin egen private nøgle, KD = (nB, dB), til at dekryptere
beskeden med. nB er selvfølgelig den samme værdi som i den offentlige
nøgle, men lad os se hvordan Bob har bestemt værdien d.
Den private nøgle d skal vælges således, at den er en invers af e = 23
modulo φ(n) = 3120. Vi ved fra tidligere (jævnfør eksempel 3.14), at vi
kan bestemme inverse ved at gå ‘baglæns’ gennem Euklids algoritme, og
derefter udtrykke den største fællesdivisor som en sum af de to heltal, i
tilfældet her
1 = s · e + t · φ(n),
hvor s’et her er identisk med vores d-værdi. Men før vi kan gå baglæns i
Euklids algoritme må vi nødvendigvis gå forlæns først. Selvfølgelig ved vi
allerede at sfd(e, φ(n)) = 1, for sådan er den jo valgt, men det hjælper os
ikke, da det er mellemregningerne vi har brug for. Altså kører vi Euklids
algoritme igennem for sfd(23, 3120):
3120 = 23 · 135 + 15
23 = 15 · 1 + 8
15 = 8 · 1 + 7
8 = 7 · 1 + 1
7 = 1 · 7 + 0
Vi finder som ventet sfd(23, 3120) = 1 og kan nu gå baglæns:
1 = 8 − 7 · 1 = 1 · 8 + (−1) · 7
= 1 · 8 + (−1) · (15 − 8 · 1) = (−1) · 15 + 2 · 8
= (−1) · 15 + 2 · (23 − 15 · 1) = 2 · 23 + (−3) · 15
= 2 · 23 + (−3) · (3120 − 23 · 135) = (−3) · 3120 + 407 · 23.
Vi får således, at
1 = −3 · φ(n) + 407 · e,
hvilket betyder at d = 407.
Altså har Bob den private dekrypteringsnøgle givet ved
KD = (nB, dB) = (3233, 407).
Den første udregning der skal udføres er derfor
D(0255) ≡ 0255 407 (mod 3233).