RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

1.3 Offentlig-nøgle kryptering 15 søgen valgte Diffie og Hellman at offentliggøre deres ideer. Dette gjorde de i november 1976 i artiklen New Directions in Cryptography. Diffie og Hellman beskriver i begyndelsen af denne artikel deres motivation for at beskæftige sig med disse nye ‘trends’ i kryptografi på følgende vis: Vi står i dag på tærsklen til en revolution inden for kryptografi. [...] Udviklingen af computerkontrollerede kommunikationsnetværk lover en ubesværet og billig kontakt mellem folk eller computere på hver sin side af Jorden, dermed erstattende fortrinsvist post og mange afstikkere med telekommunikationer. For mange applikationer må disse kontakter være sikret både imod smuglyttere og tilførsel af illegitime meddelelser. Som tingene ser ud nu halter løsningen af disse sikkerhedsproblemer langt efter andre områder af kommunikationsteknologi. Den nuværende kryptografi er ikke i stand til at imødekomme kravene, forstået på den måde at brugen heraf vil påtvinge systemets brugere så alvorlige besværligheder, at det vil eliminere mange af fordelene [...] Det bedst kendte kryptografiske problem er det omhandlende hemmeligholdelse: ved brug af kryptografi at forhindre en uautoriseret udtrækning af information fra kommunikationer ad en usikker kommunikationsvej. På nuværende tidspunkt er det imidlertid nødvendigt for de kommunikerende parter at dele en nøgle som ikke kendes af andre. Dette ordnes ved at sende nøglen i forvejen ad en sikker kommunikationsvej såsom med privat kurer eller med anbefalet post. [...] Omkostningerne og tidsforsinkelserne forårsaget af dette problem med nøgle-distribution udgør en markant barriere for overførslen af information mellem virksomheder og store computernetværk. (Diffie & Hellman; 1976, side 644, oversat fra engelsk) Udover ideen til offentlig-nøgle kryptering beskriver Diffie og Hellman i artiklen også, hvorledes man, hvis man først har et offentlig-nøgle system, kan løse problemet med autentifikation – det digitalt ækvivalente til en skreven underskrift. Løsningen af dette problem har i høj grad sin relevans i forbindelse med brugen af kreditkort. Med hensyn til offentlig-nøgle kryptering så giver Diffie og Hellman en grundig gennemgang af de krav der må stilles til en matematisk funktion for at denne kan udføre jobbet, samtidig med at de erkender, at de ikke selv har været i stand til at finde en der passer til beskrivelsen. De afslutter artiklen med følgende appel til deres kryptografikollegaer: Vi håber at dette vil inspirere andre til at arbejde inden for dette fascinerende område, hvor deltagelse er blevet modvirket i den nærmeste fortid af et næsten totalt regeringsmonopol. (Diffie & Hellman; 1976, side 653, oversat fra engelsk) Diffie og Hellman håbede ikke forgæves. Allerede året efter fandt tre andre unge forskere ved Diffies gamle universitet, MIT, en matematisk envejsfunktion som opfyldte Diffies og Hellmans krav. Det offentlig-nøgle kryptosystem som bygger på den funktion de fandt kendes i dag som RSA efter opfindernes initialer: Rivest, Shamir og Adleman. Motivationen for de tre forskere fra MIT synes at være næsten identisk og mindst lige så fremsynet som den
16 Introduktion af forskere fra Stanford. Forskerne fra MIT skriver således i indledningen til deres artikel: Den ‘elektroniske posts’ ære kan snart være over os. Vi må derfor sikre os at to vigtige egenskaber ved det nuværende system med ‘papirpost’ forbliver bevaret: (a) meddelelser må være private og (b) meddelelser må være underskrevet. (Rivest et al.; 1978, side 1, oversat fra engelsk) RSAs specielle envejsfunktion tilhører det område af matematikken der kendes som talteori – en omfattende og ældgammel matematisk disciplin. Før vi således kan give en fyldestgørende beskrivelse af, hvordan envejsfunktionen i RSA opfylder Diffies og Hellmans krav til offentlig-nøgle systemer bliver vi nødt til at have noget matematik på banen. Dette foregår i kapitel 2 og kapitel 3 og beskrivelsen af RSA følger så i kapitel 4. Ydermere er vi nødt til at få en ide om, hvad algoritmer inden for matematikken er, da RSA er et eksempel på en sådan og da der også inden for talteorien selv findes algoritmer. Så det gør vi nu. 1.4 Lidt om algoritmer RSA er som sagt en algoritme. Det vil sige, at man for at (ind)kryptere og dekryptere følger nogle helt bestemte og fastlagte procedurer. I eksemplet fra afsnit 1.1 med Cæsar-kryptering var den fastlagte procedure for kryptering ganske enkelt: 1. Udskift hvert bogstav i beskeden med det bogstav der står tre pladser længere fremme i alfabetet. Man må selvfølgelig tilføje, at hvis der er tale om et af de tre sidste bogstaver i alfabetet så tæller man videre fra begyndelsen af alfabetet. Proceduren for dekryptering lyder: 2. Udskift hvert bogstav i beskeden med det bogstav der står tre pladser tidligere i alfabetet. Igen må man tilføje, at hvis der er tale om et af de tre første bogstaver i alfabetet så tæller man videre bagfra i alfabetet. Der er altså tale om to simple procedurer som tilsammen giver os en algoritme for udførelsen af Cæsar-kryptering. Selve navnet ‘algoritme’ er en forvanskning af navnet al-Khowarizmi. Abu Ja’far Mohammed Ibn Musa al-Khowarizmi (ca. 780-850) var astronom og matematiker i Bagdad og det fra hans bog Kitab al-jabr w’al muquabala at navnet ‘algebra’ stammer – al-jabr blev til algebra. Bogen omhandler aritmetiske operationer med hinduistiske taltegn, hvilket vil sige de tal vi i dag bruger. (Godt nok omtaler vi gerne vores tal som arabertal, men faktisk er der tale om de hinduistiske taltegn. Arabernes tal ser ganske anderledes ud.) Gennem den latinske forvanskning af al-Khowarizmis navn kom algoritme med tiden til at betyde aritmetisk operation med hinduistiske taltegn og senere det som vi i dag forstår ved en algoritme. For at være helt på det rene med, hvad det er vi i dag forstår ved begrebet algoritme skal vi give følgende definition.
Page 1 and 2: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4: Roskilde University, Department of
Page 5 and 6: I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9: 1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11: 1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 13
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73:
3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81:
3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82:
3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86:
78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88:
80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90:
82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92:
84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94:
86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96:
88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98:
90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100:
92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102:
94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104:
96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106:
98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108:
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110:
102
Page 111 and 112:
104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?