RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.1 Kongruens 45
Definition 3.1: Kongruens
Lad a, b og m være heltal med m større end nul. Heltallet a er kongruent
med b modulo m, hvis m | (a − b). Vi skriver a ≡ b (mod m).
Bemærk, at hvis a ≡ b (mod m) så vil der selvfølgelig også gælde, at
b ≡ a (mod m) (hvorfor?).
Eksempel 3.2
Da 6 | (17−5) haves ifølge definitionen, at 17 ≡ 5(mod6). Da 6 ∤ (24−14)
er 24 ikke kongruent med 14 modulo 6. ⋄
En anden måde at tænke på kongruensbegrebet på er i termer af følgende
sætning.
Sætning 3.3
Lad a, b, m være heltal med m større end nul. Da gælder, at a ≡ b(modm)
hvis og kun hvis der findes et heltal k, således at a = b + km.
Bevis
At a ≡ b (mod m) er ensbetydende med, at m | (a − b), hvilket igen er
ensbetydende med at der findes et heltal k således, at a − b = km, hvilket
er det samme som a = b + km. Da de opskrevne udtryk i beviset alle er
ensbetydende med hinanden gælder argumentet også ‘baglæns’ og vi har
derfor bevist begge veje i hvis og kun hvis sætningen.
Eksempel 3.4
Da der eksisterer et heltal k = 2 således, at 17 = 5+2·6 er 17 ≡ 5(mod6).
Da sætning 3.3 er en hvis og kun hvis sætning gælder argumentationen
selvfølgelig også ‘baglæns’. ⋄
Og vi kan opstille en tredje måde at tænke på kongruensbegrebet på, også
denne gang formuleret som en sætning.
Sætning 3.5
Lad a, b og m være heltal med m større end nul. a ≡ b (mod m) hvis og
kun hvis a (mod m) = b (mod m).
Bevis *
Vi viser først den ene vej og derefter den anden. Antag således, at a ≡
b (mod m), det vil sige at a − b = km for et eller andet heltal k. Vi kan
tage modulo m på dette udtryk, så længe vi bare gør det på begge sider
af lighedstegnet:
(a − b) (mod m) = km (mod m).
Ved at flytte modulo m ind i parentesen på venstresiden og udregne
højresiden får vi, at
a (mod m) − b (mod m) = 0,
hvilket ved omrokering giver det ønskede resultat
a (mod m) = b (mod m).