RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

60 Tre vigtige sætninger for RSA
Det var Goldbachs omtale af den ovennævnte formodning af Fermat som
satte Euler på sporet af Fermats lille sætning. Formentlig opdagede og viste
Euler allerede Fermats lille sætning såvel som generaliseringen af den, Eulers
egen sætning, i 1735-36, og dette uden at kende til Fermats formulering af
sætningen i forvejen. Faktisk menes det ikke at Euler fik adgang til de af
Fermats skrifter, hvori sætningen nævnes førend flere år senere. Men lad os
se hvorledes Eulers generalisering af Fermats lille sætning, fundet omtrent
hundrede år efter at den lille sætning så dagen lys første gang, ser ud.
For at forstå Eulers sætning må vi først have en definition på banen,
nemlig definitionen af Eulers φ-funktion (det græske bogstav phi).
Definition 3.28: Eulers φ-funktion
For hvert heltal m større end eller lig 1 angiver φ(m) antallet af heltal
r, med 1 ≤ r < m, således at r er indbyrdes primisk med m, altså
sfd(r, m) = 1. φ(m) kaldes for Eulers φ-funktion.
Eksempel 3.29
φ(15) er altså antallet af positive heltal mindre end 15, som er indbyrdes
primiske med 15. Disse heltal er netop tallene 1,2,4,7,8,11,13,14, da den
største fællesdivisor af disse tal og 15 er 1. Altså er φ(15) = 8.
φ(17) = 16 da samtlige tal fra 1-16 er indbyrdes primiske med 17. ⋄
At φ-funktionen af et primtal er netop én mindre en primtallet selv, som
i tilfældet med 17 i ovenstående eksempel, er ingen tilfældighed, hvilket
følgende sætning viser.
Sætning 3.30
Lad p og q være to forskellige primtal og lad n = pq. Da gælder, at
i. φ(p) = p − 1.
ii. φ(n) = φ(p)φ(q) = (p − 1)(q − 1).
Bevis
Vi beviser først (i) og derefter (ii).
(i) Siden p er et primtal, og det derfor kun er tallene 1 og p selv der
er divisorer heri, vil der netop være p − 1 heltal mindre end p som er
indbyrdes primiske med p (heltallet 1 er jo også indbyrdes primisk med
p). Det vil sige, at φ(p) = p − 1.
(ii) Denne del kræver en smule mere udredning end den første, omend
beviset i bund og grund kun er et ‘regnestykke’. Da p og q er (forskellige)
primtal og n = pq har n ikke andre primfaktorer end disse. Alle heltal
s < n der ikke er indbyrdes primiske med n kan derfor skrives som
mængden (jævnfør eventuelt beviset for Fermats lille sætning):
S = {1p, 2p, . . . , (q − 1)p} ∪ {1q, 2q, . . . , (p − 1)q}.
Antallet af elementer i mængden S er (p − 1) + (q − 1) = p + q − 2. Da
jo n = pq er der i alt pq − 1 positive heltal mindre end n. Antallet af