RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.2 Euklids algoritme og Bézouts identitet 25
Eksempel 2.10
Heltallene 10, 17 og 21 er parvis indbyrdes primiske, da
sfd(10, 17) = sfd(10, 21) = sfd(17, 21) = 1.
Hvis du har brug for at overbevise dig selv kan du ligesom i eksempel 2.7
opskrive mængderne af divisorer og undersøge deres fællesmængder. ⋄
2.2 Euklids algoritme og Bézouts identitet
Har man givet to store heltal kan det være næsten umuligt at bestemme
største fællesdivisor, eller i bedste fald blot tidskrævende. Heldigvis findes
der en metode, eller en algoritme, som løser dette problem for os. Nærmere
bestemt er der tale om Euklids algoritme.
For at forstå Euklids algoritme må vi først have et par sætninger på
banen. Den første af disse omhandler division, men denne gang den form
for division mellem to heltal a og b, hvor disse ikke nødvendigvis går op i
hinanden (b ∤ a). Hvis a = 27 og b = 6 ved vi (formentlig) fra skolen, at
når 27 deles med 6, så er kvotienten 4 og resten 3, altså
27 = 6 · 4 + 3.
Tallet b, her 6, kaldes for dividenden. Det er kutyme at opskrive resten r
på formen
r = a mod q,
hvor q angiver kvotienten og hvor a mod q betyder resten af a ved division
med q, en notation som vi skal benytte os flittigt af senere. I eksempelet
ovenfor har vi altså
27 mod 4 = 3.
I skolen lærer vi også, at resten skal være mindre end dividenden. At der
altid findes netop én sådan rest er præcis essensen af sætning 2.11.
Sætning 2.11
Hvis vi har givet to heltal a og b med b > 0, så findes der heltal q og r
således, at
a = bq + r for 0 ≤ r < b.
Heltallet q kaldes her for kvotienten og heltallet r for resten. Der gælder
endvidere, at r og q er entydigt fastlagt.
Bevis *
Vi skal i dette bevis betragte mængden af alle rester x ≥ 0 til udtrykket
a = by + x, hvor a, b og y er heltal. Vi kalder denne mængde R og kan
skrive den som
R = {x ≥ 0 hvor det gælder, at a = by + x for nogle y ∈ Z}.