RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Bob sætter sin lås på; Alice tager sin lås af; Bob tager sin lås af. Det er der
fra et matematisk synspunkt sådan set ikke noget mærkeligt i, problemet
består i rækkefølgen hvormed kryptering og dekryptering finder sted. Hvis vi
beskriver Alices kryptering med den matematiske funktion f, Bobs med
den matematiske funktion g og kalder meddelelsen for M, kan de to første
skridt altså beskrives ved udtrykket g(f(M)). Meddelelsen M kan opnås
fra dette udtryk ved først at tage g −1 , altså g −1 (g(f(M))) = f(M), og
dernæst f −1 , altså f −1 (f(M)) = M. Imidlertid er det bare ikke det der
sker i eksemplet ovenfor. Her foregår dekrypteringen nemlig i omvendt
rækkefølge: Først dekrypterer Alice, f −1 , og dernæst Bob, g −1 , svarende
til at vi får udtrykket g −1 (f −1 (g(f(M)))), et udtryk som matematisk
set sjældent giver anledning til M. Generelt gælder der, at den som har
indkodet sidst også må afkode først, eller som det gerne hedder ‘først på,
sidst af’. Lad os se et simpelt eksempel.
Eksempel 1.1
Antag, at vores meddelelse M er et tal og lad funktionerne f og g være
givet ved f(M) = M 3 og g(M) = M + 1. Vi beregner de omvendte
funktioner:
y = M 3 ⇔ M = 3√ M og y = M + 1 ⇔ M = y − 1,
altså f −1 (y) = 3√ y og g −1 (y) = y − 1. Vi får da
g −1 (f −1 (g(f(M)))) = ( 3� ((M 3 ) + 1)) − 1 = 3� M 3 + 1 − 1,
som er forskellig fra M. ⋄
En af de få undtagelser på kryptosystemer, hvor dette ikke gælder er rent
faktisk Cæsar-kryptering (se opgave 7). Men som vi allerede har set er Cæsarkryptering
et alt andet end sikkert kryptosystem. Generelt regner man med
at sikre kryptosystemer opfylder reglen om ‘først på, sidst af’.
Hellman og Merkle var mest optaget af at finde en sikker metode til
udveksling af nøgler mens Diffie var optaget af at følge en anden vej, den
vej som skulle vise sig at føre til hvad der i dag er kendt som offentlignøgle
kryptering. Diffie genkalder sig den dag i 1975, hvor han fik ideen til
offentlig-nøgle kryptering således:
Jeg gik nedenunder for at få en Coke og glemte næsten helt
ideen. Jeg huskede, at jeg havde haft tænkt på et eller andet
interessant, men jeg kunne ikke genkalde, hvad det var. Så kom
det tilbage i et rigtigt adrenalinsus af ophidselse. For første gang
mens jeg havde arbejdet med kryptografi var jeg rent faktisk klar
over at jeg havde opdaget noget rigtig værdifuldt. Alt hvad jeg
havde opdaget op til dette tidspunkt forekom mig nu kun at være
teknikaliteter. (Singh; 1999, side 268, oversat fra engelsk)
Men hvad var det så for en ide Diffie havde fået? Lad os for et kort øjeblik
lige genkalde os, hvad det er som er essensen af privat-nøgle eller symmetrisk
kryptering. I et privat-nøgle kryptosystem besidder afsender og modtager