RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

3 Tre vigtige sætninger for RSA Foruden de allerede sete elementer af talteorien hviler RSA-algoritmen (kapitel 4), eller nærmere bestemt korrektheden af denne, på tre matematiske sætninger: Den kinesiske restsætning, Fermats lille sætning og Eulers sætning. Vi skal løbende i dette kapitel stifte bekendtskab med de tre matematikere ansvarlige for disse talteoretiske resultater. Nærmere bestemt er der tale om den kinesiske matematiker Sun Zi, hvilket kan oversættes til mester Sun, som menes at have levet i det 5. århundrede, den franske ‘hobby-matematiker’ og af uddannelse jurist Pierre de Fermat, som levede i det 17. århundrede, og sidst men ikke mindst en af matematikkens allermest produktive mennesker schweizeren Leonhard Euler fra det 18. århundrede. I de oprindelige fremstillinger af Sun Zi og Fermat anvendes ikke det der i dag er kendt som modulo-regning, eller med et andet ord kongruenser. Årsagen til dette er, at denne tilgang først for alvor blev en grundlæggende del af talteorien med den tyske matematiker Gauss i 1801. Kongruenser er imidlertid et fantastisk redskab når man har med heltal på flere hundrede cifre at gøre, som man har i RSA-kryptering. I dette kapitel vil samtlige af de talteoretiske resultater vi skal betragte derfor blive præsenteret i en (moderne) form anvendende kongruenser, ikke mindst fordi det er i denne form resultaterne blev brugt af folkene bag RSA. Vi begynder således med Gauss og hans formulering af kongruensbegrebet. 3.1 Kongruens Ifølge matematikhistoriker Morris Kline begyndte der en ny æra inden for talteori med Gauss’ publikation af Disquisitiones Arithmeticae (undersøgelser i aritmetik) i 1801. Gauss var påbegyndt dette arbejde mens han var studerende ved universitet i Göttingen og var i 1795 endt med at afbryde sine studier ved universitet for i stedet at forfølge sine egne ideer. To år senere, i en alder af 20, havde Gauss færdiggjort sit værk, men det tog ham yderligere fire år at få udgivelsen på plads. Som beskrevet i biografien ovenfor bidrog Gauss til adskillige områder inden for såvel matematik som fysik, men talteorien havde en særlig plads i Gauss’ hjerte og han skal efter sigende have udtalt, at »Matematik er videnskabernes dronning, og talteori er matematikkens dronning.« Gauss var på det tidspunkt, hvor han skrev Arithmeticae højst sandsynligt ikke bekendt med særlig mange af de dengang nyere resultater inden for talteori, hvilket han da også selv påpeger i sit forord: 43
44 Tre vigtige sætninger for RSA Mindst af alt må folk lade sig undre af at jeg næsten allerede i begyndelsen af bogen lægger ud med på ny at behandle mange resultater som har været aktivt studeret af andre. Jeg må forklare, at da jeg første gang kastede mig over denne type af undersøgelser i begyndelsen af 1795 ikke var bekendt med moderne opdagelser på området og havde ikke mulighed for at stifte bekendtskab med sådanne. [...] Da jeg omsider blev i stand til at studere arbejderne af disse genier [der hentydes her blandt andet til Fermat, Euler, Lagrange og Legendre] indså jeg at størstedelen af mine meditationer var blevet brugt på allerede veludviklede områder. [Alligevel] tillod jeg mig selv at blive overtalt til ikke at udelade nogle af de tidligere resultater, fordi der på daværende tidspunkt ikke var en bog som bragte arbejderne af tidligere geometere sammen, spredte som disse var blandt kommentarartikler i lærde akademier. Desuden var mange resultater nye, de fleste blev behandlet med nye metoder og de senere resultater hang så tæt sammen med de gamle, at de ikke kunne forklares uden at gentage fra begyndelsen. (Gauss; 1986, p. xviii-xix, oversat fra engelsk) Selve ideen om modulo-regning og notationen af kongruenser kan ikke tilskrives Gauss – den findes allerede hos andre matematikere så som Euler og franskmændene Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) og Adrien-Marie Legendre (1752-1833) – men det er i Gauss’ Arithmeticae at begrebet for alvor viser sin styrke. Gauss begynder således på første linie i første kapitel af sit værk med at definere kongruenser, moduli og rester. Den moderne definition, tohundrede år senere, er stort set identisk med den af Gauss og brugen af ≡-tegnet, som vi skal se anvendt nedenfor, skyldes da også netop Gauss. 1 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Carl Friedrich Gauss’ skarpe intellekt og uhyre flair for matematik viste sig allerede i en tidlig alder og som 11-årig blev Gauss derfor sendt i gymnasiet i Brunswick. Som 15-årig begyndte Gauss på universitetet i Göttingen, men i 1795 afbrød han sine studier for at hellige sig sin egen forskning i blandt andet talteori. Fire år senere fik Gauss dog sin grad i Brunswick, hvor hertugen tilmed forlængede Gauss’ stipendiat med en opfordring til Gauss om at indlevere en doktorafhandling til universitetet i Helmstedt. Det gjorde Gauss og afhandlingen var banebrydende idet den indeholdt et bevis for algebraens fundamentalsætning (enhver n’tegradsligning har n rødder i C). I 1807 blev Gauss direktør for observatoriet i Göttingen og plejede i nogle år sin interesse for astronomi blandt andet med udgivelsen af et to-binds værk i 1809 om differentialligninger og himmellegemernes bevægelser. Gauss ydede også signifikante bidrag inden for differentialgeometri såvel som fysik og han regnes tilmed for at være den første der kendte til eksistensen af ikke-euklidisk geometri. 1 Væsentlige dele af den matematiske fremstilling i dette kapitel er baseret på (Rosen; 2003).
Page 1 and 2: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4: Roskilde University, Department of
Page 5 and 6: I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9: 1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11: 1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102:
94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104:
96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106:
98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108:
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110:
102
Page 111 and 112:
104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?