RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.3 Fermats lille sætning 57
som er kongruente modulo p, in ≡ jn (mod p), hvilket er det samme som,
at p | jn − in, eller p | (j − i)n. Da n og p er indbyrdes primiske og
p | (j − i)n følger af sætning 2.19 at p | (j − i) (vi har jo, at p ∤ n). Men
dette er jo umuligt siden j − i nødvendigvis er et positivt heltal mindre
end p, altså har vi en modstrid.
(2) Da vi ifølge ovenstående har at ingen to heltal 1n, 2n, 3n, . . . , (p −
1)n er kongruente modulo p må det forholde sig således, at hvert af disse
heltal er kongruent modulo p til et forskelligt tal mellem 1 og p − 1. Tager
vi derfor produktet 1n · 2n · 3n · · · (p − 1)n modulo p vil resultatet af dette
være det samme som produktet af tallene fra 1 til p − 1 modulo p, altså
1n · 2n · 3n · · · (p − 1)n ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p − 1) (mod p),
hvilket vi kan omskrive til
(p − 1)!n p−1 ≡ (p − 1)! (mod p).
(3) Ifølge Wilsons sætning, sætning 3.22, er (p − 1)! ≡ −1 (mod p),
hvorfor vi kan omskrive ovenstående udtryk til
(−1)n p−1 ≡ −1 (mod p).
Ved at gange igennem med −1 får vi det ønskede resultat,
n p−1 ≡ 1 (mod p),
og da vi allerede i del (1) af beviset forudsatte, at p ∤ n har vi altså
Fermats lille sætning.
Eksempel 3.26
Lad igen p = 5 og lad n = 6, der gælder at 5 ∤ 6. Vi har at 6 5−1 =
6 4 = 1296. Der gælder oplagt at 5 er en divisor i 1295, hvorfor 6 5−1 ≡
1 (mod 5). ⋄
En anden formulering af Fermats lille sætning, som man også tit støder
på, lyder:
Sætning 3.27
Lad p være et primtal, da haves for alle heltal n, at
n p ≡ n (mod p).
Bevis
For at vise dette må vi kigge på to tilfælde: p | n og p ∤ n. Hvis p ∤ n
ganger vi blot igennem med n i udtrykket fra sætning 3.25 og får således
det ønskede. Hvis p | n så vil begge sider af n p ≡ n(modp) være 0 modulo
p og kongruensen vil derfor stadig være sand.