RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
98 <strong>RSA</strong>-algoritmen<br />
realiseringen af dette <strong>anvendte</strong> de selv <strong>den</strong> teknol<strong>og</strong>i, <strong>den</strong> digitale computer,<br />
som de nu løber om kap med <strong>for</strong> at opretholde sikkerhe<strong>den</strong> af <strong>RSA</strong>. Det<br />
nærliggende spørgsmål er, hvad teknol<strong>og</strong>iens næste træk bliver. Vil der ske en<br />
eller an<strong>den</strong> revolutionerende udvikling in<strong>den</strong> <strong>for</strong> teknol<strong>og</strong>ien, således at <strong>den</strong>ne<br />
kommer <strong>for</strong>an eller slet <strong>og</strong> ret vinder kapløbet med matematikken? En sådan<br />
udvikling diskuteres i n<strong>og</strong>en grad allerede med <strong>den</strong> såkaldte kvantecomputer.<br />
Kvantecomputeren er en computer som baserer sig på fysikkens kvanteteori,<br />
en teori vi ikke skal <strong>for</strong>søge at beskrive her. Derimod skal vi pointere et<br />
par af konsekvenserne af en sådan computers eksistens. Kvantecomputeren<br />
findes nemlig ikke endnu i en velfungerende udgave. Men det gør til gengæld<br />
pr<strong>og</strong>rammer til <strong>den</strong> – pr<strong>og</strong>rammer, som hvis <strong>den</strong> n<strong>og</strong>ensinde skulle blive<br />
en realitet, kan faktorisere heltal en million gange større end Gardners 129<br />
cifrede heltal på få sekunder. Pr<strong>og</strong>rammer til brydning af <strong>RSA</strong> <strong>og</strong> andre<br />
kryptosystemer som <strong>for</strong> eksempel DES er allerede skrevet, blandt andet af<br />
<strong>for</strong>skere ved Bell Laboratories, <strong>og</strong> ligger blot <strong>og</strong> venter på at kvantecomputeren<br />
skal manifestere sig. Men krypt<strong>og</strong>raferne er d<strong>og</strong> på <strong>for</strong>kant med<br />
situationen, idet en ny <strong>for</strong>m <strong>for</strong> kryptering, <strong>den</strong> såkaldte kvantekryptering,<br />
<strong>og</strong>så blot ligger <strong>og</strong> venter på at kvantecomputeren skal blive til virkelighed.<br />
Og sådan <strong>for</strong>tsætter kapløbet mellem matematikken <strong>og</strong> teknol<strong>og</strong>ien ligesom<br />
kapløbet mellem krypt<strong>og</strong>raferne <strong>og</strong> kryptoanalytikerne. Hvem der vinder er<br />
ikke til at sige, men at det vil vare længe førend de to kapløb er <strong>for</strong>bi, hvis<br />
overhovedet n<strong>og</strong>ensinde, synes derimod sikkert – så sikkert som n<strong>og</strong>et som<br />
helst in<strong>den</strong> <strong>for</strong> krypt<strong>og</strong>rafien nu engang kan være.<br />
4.6 Opgaver<br />
Opgave 56<br />
Opskriv <strong>for</strong>mlen, C −1 (y), <strong>for</strong> dekryptering af Cæsar-kryptering.<br />
Opgave 57<br />
Modificer opskrivningen i afsnit 1.4 af Cæsar-kryptering (inklusiv dekryptering)<br />
som algoritme ved at bruge <strong>for</strong>mlerne baseret på modulo-regning.<br />
Opgave 58<br />
Opskriv <strong>for</strong>mlerne <strong>for</strong> Cæsar-kryptering <strong>og</strong> -dekryptering, hvor vi i stedet<br />
<strong>for</strong> tallet 3 kan benytte et vilkårligt tal k. Hvilken betingelse giver det<br />
mening at lade k opfylde? Benyt <strong>for</strong>mlen med k = 7 til at (ind)kryptere<br />
beske<strong>den</strong> OGSÅ DU MIN SØN BRUTUS.<br />
Opgave 59<br />
Cæsar-kryptering hvor man kun <strong>for</strong>skyder b<strong>og</strong>staverne frem i alfabetet<br />
udgør ikke en særlig sikker metode til kryptering. Hvor<strong>for</strong>?<br />
En lidt anderledes, omend ikke meget mere sikker metode, kan opnås<br />
ved at benytte <strong>for</strong>mlen<br />
C(x) = (ax + b) modulo 30.<br />
Oversæt beske<strong>den</strong> TERNINGERNE ER KASTET med værdierne a = 2 <strong>og</strong><br />
b = 3.