RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.3 Fermats lille sætning 55
Til vores moderne fremstilling af Fermats lille sætning bliver vi nødt
til at have en håndfuld andre sætninger på banen først. Men som vi skal
se vil vi i beviserne for disse heldigvis ofte kunne støtte os til en del af de
resultater vi allerede har vist i de foregående afsnit. Mere præcist skal vi
basere vores bevis for Fermats lille sætning på en anden sætning kendt
som Wilsons sætning og for at bevise denne har vi brug for to lemmaer.
Lemma 3.20
Lad p være et primtal. De eneste løsninger x til ligningen
x 2 ≡ 1 (mod p)
er de der opfylder ligningerne x ≡ 1 (mod p) og x ≡ −1 (mod p).
Bevis
At heltal x er løsninger til x 2 ≡ 1 (mod p) vil sige, at p | x 2 − 1. Men da
(x 2 − 1) = (x + 1)(x − 1) er vi altså ude efter x’er for hvilke der gælder,
at p | (x + 1)(x − 1). Fra lemma 2.25 ved vi, at dette kun er tilfældet,
hvis enten p | x + 1 eller p | x − 1. Men det er jo det samme som at
x ≡ 1 (mod p) eller x ≡ −1 (mod p).
Værd at bemærke i denne sammenhæng er, at −1(modp) jo er det samme
som p − 1 (mod p). Vi skal bruge dette i beviset for det næste lemma.
Lemma 3.21
Hvis p er et primtal gælder der, at de positive heltal r, 1 < r < p − 1,
kan splittes op i (p − 3)/2 par af heltal, således at hvert par består af
hinandens inverse modulo p.
Bevis
Vi bemærker først, at alle positive heltal r < p nødvendigvis må være
indbyrdes primiske med p, da p jo er et primtal og derfor ikke har andre
divisorer end 1 og sig selv. Af sætning 3.13 følger da, at alle positive
heltal r < p har en invers modulo p og at denne inverse er entydig blandt
heltallene r < p. Når alle heltal r < p på denne måde har en entydig
invers må vi kunne inddele disse i par bestående af et heltal og dets
inverse. Det eneste mulige problem er, hvis et heltal er sit eget inverse,
i hvilket tilfælde vi ikke får et par. Ifølge lemma 3.20 er det dog kun
heltallene 1 og −1 (det vil sige p − 1) der er deres egne inverse modulo
p. Derfor kan alle positive heltal r med 1 < r < p − 1 altså grupperes i
par bestående af to heltal som er hinandens inverse. Og der findes netop
(p − 1 − 2)/2 = (p − 3)/2.
Nu kan vi så vise den såkaldte Wilsons sætning, opkaldt efter den engelske
matematiker John Wilson (1741-1793) som fandt sætningen omkring 1760.
Matematikhistoriske studier har dog senere vist, at den tyske matematiker
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) kendte resultatet allerede i 1683.
Imidlertid publicerede Leibniz ikke noget derom, og det gjorde Wilson faktisk
heller ikke. Første gang sætningen så dagens lys var da en anden engelsk matematiker,
Edward Waring (1736-1798), publicerede den, men med reference til