RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.3 Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning 35
primtal eller sammensatte tal? Den første og mest åbenlyse test går på
om tallet er lige eller ulige. Det eneste lige primtal er som set tallet 2, alle
andre lige tal er sammensatte tal, idet 2 jo er en primdivisor i disse. Ifølge
aritmetikkens fundamentalsætning ved vi, at ethvert heltal kan skrives
som et produkt af primtal, så den næste åbenlyse test er da for et givet
heltal n at dividere samtlige primtal p < n op i n. Går et af dem op i n
er n et sammensat tal, gør ingen af dem er n et primtal.
Eksempel 2.28
Er heltallet 101 et primtal? Ifølge testen ovenfor skal vi for at finde ud
af dette dividere primtallene op til 100 (jævnfør eksempel 2.21) op i 101.
Hvad bliver konklusionen? ⋄
Testen i ovenstående eksempel er noget omstændelig og faktisk heller ikke
helt gennemtænkt, idet vi jo for eksempel kan sige os selv, at 97 ikke går
op i 101. Det gør 98, 83, . . . , 53 åbenlyst heller ikke. Så vi behøver altså
ikke prøve med alle p < n. Spørgsmålet er så, hvor mange, eller hvor få,
vi kan nøjes med for at undersøge om et heltal er et primtal. Heldigvis
har vi en sætning der fortæller os dette.
Sætning 2.29
Hvis n er et sammensat tal, så har n en primdivisor som er mindre end
eller lig √ n.
Bevis *
Hvis n er et sammensat tal er n = ab for et a og et b større end 1.
Bemærk, at vi enten har, at a ≤ √ n eller at b ≤ √ n, da vi jo i modsat
fald ville have, at ab > √ n · √ n = n, hvilket er i strid med definitionen
af et sammensat tal. Altså, har n en positiv divisor som ikke overstiger
√ n. Ifølge aritmetikkens fundamentalsætning er denne divisor enten et
primtal eller har selv en primdivisor. I hvert tilfælde har n en primdivisor
som er mindre end eller lig √ n.
I termer af primtal kan sætning 2.29 også omformuleres til følgende
korollar.
Korollar 2.30
Et heltal er et primtal, hvis det ikke er deleligt med noget primtal mindre
end eller lig dets kvadratrod.
Lad os atter se på vores eksempel fra før.
Eksempel 2.31
Vi ser igen på heltallet 101. Da √ 101 = 10, 0499 skal vi ifølge ovenstående
korollar kun se på primtal p ≤ 10, det vil sige 2,3,5 og 7. Da ingen af
disse går op i 101 er 101 altså et primtal. ⋄
Som nævnt indeholder Elementerne en sætning kendt som Euklids
sætning. Der er tale om en særdeles berømt sætning (og et mindst lige så
berømt bevis!) inden for matematikken, og derfor også talteorien, som
udtaler sig om intet mindre end hvor mange primtal der findes.