RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

4.4 Den ikke offentlige offentlige-nøgle kryptering 89 Dekrypteringen af den første blok kryptotekst kan nu finde sted: D(0225) ≡ 0255 407 (mod 3233) = 611 · 733 · 3173 · 672 · 365 · 255 (mod 3233) = 88882768802973600 (mod 3233) = 1819. På lignende vis dekrypteres de resterende blokke kryptotekst og resultaterne bliver: D(1391) ≡ 1391 407 (mod 3233) = 0110 D(1046) ≡ 1046 407 (mod 3233) = 1118 D(1733) ≡ 1733 407 (mod 3233) = 2516 D(1745) ≡ 1745 407 (mod 3233) = 2005 D(1554) ≡ 1554 407 (mod 3233) = 1809 D(1808) ≡ 1808 407 (mod 3233) = 1407 Disse kan nu sammensættes til tallet 1819010011182516200518091407, som ved hjælp af tabel 4.1 fra afsnit 4.1 oversættes tilbage til Alices besked til Bob: RSA-KRYPTERING. Rivest, Shamir og Adleman brugte senere deres patent til at opbygge et firma som solgte RSA-løsninger til banker og andre virksomheder med brug for at kunne kommunikere sikkert. Adleman fortalte i interviewet med Bass fra 1995 også lidt om, hvordan dette spændte af. »Det var ligesom, ‘Heh, vi bygger en high-tech industriel erhvervsvirksomhed i vores fritid’«, siger Adleman. Papirerne blev underskrevet i Adlemans Los Angeles lejlighed i 1982 – han var nu præsident af RSA Inc. Men hvordan var Adlemans indsats som forretningsmand så? Han kaster hovedet tilbage og griner. »I mine hænder røg forretningen lige i lokummet,« siger han. »Jeg var forfærdelig. Ligefrem horribel. Til sidst reorganiserede vi virksomheden og hyrede en rigtig præsident.« Han referer her til James Bidzos, som sluttede sig til RSA i 1986. Adleman er stadig aktionær og rådgiver i virksomheden hvis fremtid han ser som »relativt lovende«. (Bass; 1995, oversat fra engelsk) Et år efter Bass’ interview med Adleman blev virksomheden (RSA Data Security Inc.) solgt for ikke mindre end $200 millioner dollars. 4.4 Den ikke offentlige offentlige-nøgle kryptering Når man taler om videnskabelige opdagelser eller opfindelser i historisk øjemed er der undertiden tale om to forskellige historier: Den offentligt tilgængelige og den ikke offentligt tilgængelige, eller med andre ord den der foregår på
90 RSA-algoritmen universiteterne og den der foregår i sikkerhedstjenesterne. RSA og offentlignøgle kryptering er eksempler på videnskabelige resultater som netop har sådanne to forskellige historier. Vi har ovenfor hørt den offentlige historie som fandt sted på to amerikanske universiteter (Stanford og MIT), nu skal vi høre den ikke offentlige historie som fandt sted i den britiske sikkerhedstjeneste – en historie som ikke blev offentliggjort førend i 1997. 1 Ifølge den britiske regering blev såvel offentlig-nøgle kryptering som RSA oprindelig opfundet ved Government Communications Headquaters (GCHQ) i Cheltenham, hvilket var en tophemmelig afdeling dannet efter anden verdenskrig ud fra resterne af Bletchley Park. Som vi har set i kapitel 1 begyndte problemet med distribution af private nøgler til (ind)kryptering og dekryptering at blive et problem i årene efter anden verdenskrig, hvor kryptering af information blev mere og mere udbredt og almindeligt. Militære organisationer var nogle af de få som rent faktisk kunne og hidtil havde været i stand til at betale de omkostninger der var forbundet med sikker kommunikation. Imidlertid begyndte det britiske militær i løbet af 1960erne at lege med ideen om at soldater skulle være udstyret med miniature-radioer og på den måde være i konstant kontakt med deres overordnede. Fordelene ved et sådant kommunikationssystem var åbenlyse, men problemet var at samtalerne blev nødt til at være krypterede i fald fjenden skulle finde på at lytte med. Med symmetrisk kryptering, som var den eneste tilgængelige form for kryptering på dette tidspunkt, ville et sådant system betyde at hver soldat skulle have sin egen private nøgle og ikke mindst, at hver af disse nøgler skulle distribueres på sikker vis. Militæret forudså, at enhver form for senere udvidelse af sådanne systemer ville være underlagt problemet med distribution af nøgler, og det i en sådan grad at udvidelser med rimelighed kunne anses som værende på det nærmeste umulige. Af den årsag blev en af GCHQs bedste krytografer bedt om at overveje situationen. Kryptografen var James Ellis (1924-1997) som var uddannet ingeniør og som tilhørte den specielle division Communications-Electronics Security Group (CESG) under GCHQ. Ellis var kendt som værende uhyre iderig og vældig skarp, men også uforudsigelig og på ingen måde en født teamworker. Forfatteren og matematikeren Simon Singh fik i et interview med en af Ellis’ kollegaer, Richard Walton, følgende beskrivelse af Ellis: Han var en temmelig sær kollega, han passede ikke rigtig ind i den daglig rutine i GCHQ. Men når det drejede sig om at finde på nye ideer var han ganske exceptionel. Man blev undertiden nødt til at sortere noget skidt fra, men han var vældig innovativ og altid villig til at udfordre det ortodokse. Vi ville for alvor være i vanskeligheder, hvis alle i GCHQ var som ham, men vi kan tolerere en større andel af sådanne folk end de fleste andre organisationer. Vi finder os i et antal folk som ham. (Singh; 1999, side 281, oversat fra engelsk) 1 Dette afsnit er baseret på Simon Singhs skildring af begivenhederne i GCHQ i 1960’erne og ’70’erne (Singh; 1999, side 279-292).
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15:
1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27:
1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29:
2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31:
2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33:
2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116: 108
Page 117: 110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?