RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

82 RSA-algoritmen
Det første vi gør er at oversætte vores meddelelse i ord til et heltal
mellem 0 og n. For nemheds skyld og for ikke at overstige n kan vi bryde
en lang meddelelse op i mindre blokke. Disse kan så oversættes til heltal
ved hjælp af det samme skema vi anvendte til Cæsar-kryptering i forrige
afsnit, tabel 4.1. Vi kalder denne numeriske form, altså en sådan blok
af vores meddelelse, for M. Krypteringen af M foregår ved at opløfte
M i e og tage modulo n af resultatet. Ud af dette får vi et nyt heltal,
kaldet C for kryptoteksten, som altså er resten af M e ved division med
n. Selve algoritmen for RSA-(ind)krypteringen, som vi vil kalde E, kan
altså opskrives som proceduren
C ≡ E(M) ≡ M e (mod n). (4.1)
Det vigtige at forstå i forbindelse med RSA-kryptosystemet er, at de
to individer der ønsker at udveksle en meddelelse ikke benytter den samme
offentlige nøgle KE til kryptering. Når Alice sender en meddelelse til Bob
benytter hun hans offentlige nøgle og når Bob sender en meddelelse til
Alice benytter han hendes. Der er altså to offentlige nøgler i spil, hver med
forskelligt n og e, og skulle vi bære os helt korrekt ad burde vi opskrive
Alices nøgle som KE = (nA, eA) og Bobs som KE = (nB, eB). Udfra hver
sin offentlige nøgle genererer Alice og Bob hver sin private nøgle KD til
dekryptering. Denne består af heltallet n samt et andet positivt heltal, d,
som er valgt således, at det er en invers af e modulo (p − 1)(q − 1). Med
symboler skriver vi
ed ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)).
Bemærk, at da e er valgt således, at sfd(e, (p − 1)(q − 1)) = 1 ved vi fra
sætning 3.13 at en sådan invers d eksisterer, og tilmed er entydig modulo
(p − 1)(q − 1). Dekrypteringsnøglerne for henholdsvis Alice og Bob er
altså, KD = (nA, dA) og KD = (nB, dB). Dekrypteringen af den afsendte
kryptotekst C sker nu ved hjælp af dekrypteringsalgoritmen, kaldet D:
D(C) ≡ C d (mod n). (4.2)
Det spørgsmål der imidlertid står tilbage er om man nu også rent
faktisk får meddelelsen M ud af at køre dekrypteringsalgoritmen på
kryptoteksten C. Det kan man bevise matematisk at man gør og det er
netop til dette formål, at vi får brug for de tre sætninger fra kapitel 3:
Den kinesiske restsætning, Fermats lille sætning og Eulers sætning. Vi
skal altså vise følgende sætning:
Sætning 4.2
Ved anvendelse af RSA-dekrypteringsalgoritmen, D(C), på kryptoteksten
C fås den oprindeligt krypterede meddelelse M. Med symboler skriver vi
D(C) ≡ M (mod n).