RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.1 Division og største fællesdivisor 23
Figur 2.2 De heltal som det positive heltal m går op i.
Sætning 2.3
Lad a, b og c være heltal. Der gælder da følgende:
i. Hvis a | b og a | c, så vil a | (b + c).
ii. Hvis a | b, så gælder der for alle heltal c, at a | bc.
iii. Hvis a | b og b | c så gælder, at a | c.
Bevis
Vi begynder med (i): Antag, at a | b og a | c. Ifølge definition 2.1 findes
der da heltal s og t således, at as = b og at = c. Der gælder da, at
b + c = as + at = a(s + t), hvilket jo netop medfører, at a | (b + c).
For at bevise (ii) antager vi, at a | b. Det betyder, at der findes et
heltal s, således at as = b. Vi forlænger nu med et heltal c på begge sider
af denne lighed og får asc = bc som vi skriver som a(cs) = bc. Altså haves
at a | bc, og da c kan være et hvilket som helst heltal gælder sætningen
for alle heltal c.
Og til slut (iii): Antag, at a | b og b | c. Det vil sige, der findes heltal
s og t således, at b = as og c = bt. Vi kigger da på udtrykket a(st). Dette
er lig bt, som igen er lig c. Altså a(st) = bt = c, hvorfor der må gælde, at
a | c.
Eksempel 2.4
For at illustrere (i) kan vi se på a = 213, b = 1704 og c = 2769. Da
213 | 1704 (213 · 8 = 1704) og 213 | 2769 (213 · 13 = 2769), har vi ifølge
sætningen at 213 | (1704 + 2769) = 4473. (Check selv!)
Når a = 213 og b = 1704 og vi ved at 213 | 1704, så gælder der ifølge
(ii), at 213 vil gå op i produktet af et hvilket som helst heltal c ganget
med 1704. Helt præcist vil det gå op 213 · c gange.
Et eksempel på (iii) kan være a = 213, b = 1704 og c = 11928. Da
213 | 1704 og 1704 | 11928 (1704 · 7 = 11928) gælder ifølge sætningen, at
213 går op i 11928. Hvor mange gange 213 går op er let at se, for da 213
går 8 gange op i 1704 og 1704 går 7 gange op i 11928 vil 213 gå 8 · 7 = 56
gange op i 11928. ⋄
En sætning der mere eller mindre helt naturligt falder ud af en anden
sætning eller er en direkte konsekvens af en sætning kendes som et korollar,
eller med et mere jævnt navn en følgesætning. Sætning 2.3 har et sådant
korollar.
Korollar 2.5
Hvis a, b og c er heltal og a | b og a | c så gælder, at a | mb + nc for to
vilkårlige heltal m og n.