RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.4 Eulers sætning 63
Eksempel 3.35
Lad igen n = 6 og m = 5 og lad os sætte t = 9. Korollaret siger nu, at
6 9 ≡ 6 9 (mod φ(5)) (mod 5)
≡ 6 9 (mod 4) (mod 5)
≡ 6 1 (mod 5).
6 9 = 10077696 modulo 5 er oplagt lig 1 og det samme er 6 modulo 5. ⋄
Euler forsatte sit arbejde med talteorien og i 1748 – samme år som det
formodes Euler første gang fik fat i en kopi af 1670-udgaven af Diophantus’
Arithmetica indeholdende Fermats kommentarer – gik Euler igang med at
forfatte et større værk om talteori, men projektet strandede. Euler nåede
i alt at skrive seksten kapitler førend han opgav projektet. Kapitlerne blev
ikke udgivet førend i 1849, mere end halvtreds år efter Eulers død, under
titlen Tractatus de numerorum doctrina. Det interessante ved Eulers denne
‘introduktion’ til talteori er imidlertid, at disse kapitler i høj grad minder om
Gauss’ første udkast til de indledende dele af hans Disquisitiones Arithmeticae
fra 1801. Eksempelvis behandlede Euler her såvel kongruens som lineær
kongruens inden han præsenterede sin generalisering af Fermats lille sætning.
Faktisk bestod en hel del af Eulers arbejde med talteorien i at bevise flere af de
formodninger og formulerede sætninger som Fermat havde givet uden bevis.
Euler fortsatte i hele denne periode såvel som efter med at søge efter Fermats
(forsvundne) skrifter. Allerede i 1742 havde Euler forsøgt at iværksætte en
søgen, men ingen andre matematikere syntes på det tidspunkt interesserede
nok i Fermats talteori til at medvirke i en sådan eftersøgning, hverken i Paris
eller andre steder. Euler måtte derfor gøre det selv, hvilket han gjorde med
Lagranges uvurderlige hjælp fra 1768 og fremefter. Da Euler døde i 1783 var
det terræn som Fermat havde inddraget atter genvundet af Euler og nyt var
føjet til.
Lagrange var sammen med Legendre en af de få arvtagere til Eulers og
Fermats talteori. Lagrange havde skrevet sit første brev til Euler i 1754, et
brev som Euler ikke havde fundet interessant nok til at besvare. Men året
efter skrev Lagrange et nyt og denne gang et som lod til at imponere Euler, i
hvert fald behandlede Euler fra dette tidspunkt af altid den væsentlig yngre
Lagrange som en ligeværdig. Lagrange omtaler da også Euler som »den eneste
kompetente dommer i talteoretiske spørgsmål« idet det ifølge Lagrange kun er
Fermat og Euler der på dette tidspunkt har haft succes i sådanne henseender.
Tilmed påpeger han, at i fald han selv har været så heldig at kunne føje til
Eulers opdagelser, så skyldes det intet andet end de studier han har gjort af
Eulers excellente arbejder. En ting er dog Lagranges og Legendres syn på
talteori, noget andet er andre matematikeres. Attituden hos matematikere
generelt set var nemlig ikke stort ændret, og det på trods af at en af de
største af dem alle, Euler, var en så varm fortaler for emnet. I 1778, fem
år før Eulers død, sendte en af Eulers elever nogle af sin mesters resultater
omhandlende primtal til Nicholas Bernoulli. Denne svarede:
Hvad du har taget dig tid til at fortælle mig om dette spørgsmål
forekommer mig såvel opfindsomt som vores store mester [Euler]