RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.4 Jagten på større og større primtal 37
(bemærk, at n = 3, 6, 8, 9 ikke giver anledning til primtal). Ligeledes gælder
det, at der findes uendeligt mange primtal af typen (4n + 1), og faktisk er
alle primtal fra 5 og frem enten af typen (4n + 1) eller af typen (4n + 3).
Et interessant spørgsmål er imidlertid om der findes flest primtal af typen
(4n + 1) eller af typen (4n + 3) efterhånden som man arbejder sig ud af
tallinien – dette er kendt som primtalskapløbet. Hvis man begynder at tælle
kunne man få den opfattelse, at det altid vil være (4n + 3) der fører dette
kapløb (jævnfør følgen ovenfor af primtal på formen (4n + 3)), men faktisk
viser det sig at (4n + 1) overtager føringen ved 26861, som er et primtal
af type (4n + 1). På dette tidspunkt er der 1473 primtal af typen (4n + 1),
mens der kun er 1472 primtal af typen (4n + 3). De to typer fortsætter med
at skifte føring på en højst irregulær vis jo længere man bevæger sig ud
af tallinien. For hovedparten af de første få milliarder fører (4n + 3), men
hvad der sker jo længere vi bevæger os ud af tallinien er uvist. Det sjette og
største kendte område, hvor (4n + 1) fører ligger mellem 18.465.126.293 og
19.033.524.538. Et lignende kapløb finder sted mellem de to slags primtal af
henholdsvis formen 3n + 2 og 3n + 1.
Så ét spørgsmål går altså på primtallenes fordeling på tallinien, ét andet
spørgsmål går imidlertid på at finde store primtal. Dette spørgsmål har
interesseret matematikere i flere århundreder, men med anvendelsen af talteori
i kryptering er spørgsmålet kun blevet mere relevant. For at RSA-kryptering
fungerer er man, hvilket vil blive forklaret i detaljer i kapitel 4, nødt til at
kende to store primtal p og q. Og 100-200 cifre i hver af disse primtal er
langt fra unormalt. Men hvordan finder man sådanne store primtal? Dette
problem diskuterede allerede den franske munk, filosof og matematiker Marin
Mersenne (1588-1648) i sin bog Cogitata Physico-Mathematica fra 1644.
Mersennes ide var at kigge på naturlige tal af typen 2 n − 1 for n = 1, 2, 3, . . .,
de i dag såkaldte Mersenne-tal, Mn. Der gælder følgende sætning om disse
tal.
Sætning 2.34
Hvis 2 n − 1 er et primtal, så er n et primtal.
Bevis *
Antag, at n ikke er et primtal, hvilket vil sige at det har en primfaktor p.
I så fald vil 2 p − 1 gå op i 2 n − 1, idet n = pq giver, at
2 n − 1 = (2 p − 1)(2 pq−p + . . . + 2 p + 1).
Men dette giver anledning til en modstrid, da 2 n − 1 derfor ikke som
forudsat er et primtal. Altså må n nødvendigvis være et primtal.
Det modsatte gælder imidlertid ikke altid: Hvis n er et primtal, så er Mn =
2 n − 1 måske et primtal, men ikke nødvendigvis. Mersenne fremførte i sin
bog fra 1644 den påstand, at for alle n = 1, . . . , 257 er Mn = 2 n − 1
kun primtal for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Noget af det mest
bemærkelsesværdige i denne sammenhæng er, at Mersenne var i stand til at
jonglere med så store tal, tallet M127 er for eksempel et tal på 39 cifre:
M127 = 170141183460469231731687303715884105727.