RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

4.3 Et udførligt eksempel 87 Alice sender nu denne kryptotekst til Bob. Det første Bob gør er at bryde den op i blokke på fire cifre: 0255 1391 1046 1733 1745 1554 1808. Bob skal nu bruge sin egen private nøgle, KD = (nB, dB), til at dekryptere beskeden med. nB er selvfølgelig den samme værdi som i den offentlige nøgle, men lad os se hvordan Bob har bestemt værdien d. Den private nøgle d skal vælges således, at den er en invers af e = 23 modulo φ(n) = 3120. Vi ved fra tidligere (jævnfør eksempel 3.14), at vi kan bestemme inverse ved at gå ‘baglæns’ gennem Euklids algoritme, og derefter udtrykke den største fællesdivisor som en sum af de to heltal, i tilfældet her 1 = s · e + t · φ(n), hvor s’et her er identisk med vores d-værdi. Men før vi kan gå baglæns i Euklids algoritme må vi nødvendigvis gå forlæns først. Selvfølgelig ved vi allerede at sfd(e, φ(n)) = 1, for sådan er den jo valgt, men det hjælper os ikke, da det er mellemregningerne vi har brug for. Altså kører vi Euklids algoritme igennem for sfd(23, 3120): 3120 = 23 · 135 + 15 23 = 15 · 1 + 8 15 = 8 · 1 + 7 8 = 7 · 1 + 1 7 = 1 · 7 + 0 Vi finder som ventet sfd(23, 3120) = 1 og kan nu gå baglæns: 1 = 8 − 7 · 1 = 1 · 8 + (−1) · 7 = 1 · 8 + (−1) · (15 − 8 · 1) = (−1) · 15 + 2 · 8 = (−1) · 15 + 2 · (23 − 15 · 1) = 2 · 23 + (−3) · 15 = 2 · 23 + (−3) · (3120 − 23 · 135) = (−3) · 3120 + 407 · 23. Vi får således, at 1 = −3 · φ(n) + 407 · e, hvilket betyder at d = 407. Altså har Bob den private dekrypteringsnøgle givet ved KD = (nB, dB) = (3233, 407). Den første udregning der skal udføres er derfor D(0255) ≡ 0255 407 (mod 3233).
88 RSA-algoritmen Dette tal kan udregnes med samme metode som blev anvendt til (ind)krypteringen. Vi bemærker, at 0255 407 = 0255 256+128+16+4+2+1 og udregner følgende: = 0255 256 · 0255 128 · 0255 16 · 0255 4 · 0255 2 · 0255, 0255 1 (mod 3233) = 0255 0255 2 (mod 3233) = 65025 (mod 3233) = 365 0255 4 (mod 3233) = 356 2 (mod 3233) = 133225 (mod 3233) = 672 0255 8 (mod 3233) = 672 2 (mod 3233) = 451584 (mod 3233) = 2197 0255 16 (mod 3233) = 2197 2 (mod 3233) = 4826809 (mod 3233) = 3173 0255 32 (mod 3233) = 3173 2 (mod 3233) = 10067929 (mod 3233) = 367 0255 64 (mod 3233) = 367 2 (mod 3233) = 134689 (mod 3233) = 2136 0255 128 (mod 3233) = 2136 2 (mod 3233) = 4562496 (mod 3233) = 733 0255 256 (mod 3233) = 733 2 (mod 3233) = 537289 (mod 3233) = 611
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15:
1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27:
1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29:
2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31:
2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33:
2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116: 108
Page 117: 110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?