RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

3.2 Den kinesiske restsætning 49 Dette er imidlertid det samme som, at −1 · 5 ≡ 1 (mod 6), hvorfor −1 netop vil være en invers af 5 modulo 6. ⋄ Når vi kender en invers ā af a modulo m kan vi løse den lineære kongruens ax ≡ b (mod m) ved at gange begge sider af kongruensen med ā. Lad os se hvordan. Eksempel 3.15 Vi vil løse den lineære kongruens 5x ≡ 2 (mod 6). Fra eksempel 3.14 ved vi, at −1 er en invers til 5 modulo 6. Vi ganger derfor igennem med −1 −1 · 5x ≡ −1 · 2 (mod 6). Da −5 ≡ 1 (mod 6) og −2 ≡ 4 (mod 6) må der gælde, at hvis x er en løsning, så er x ≡ −2 ≡ 4 (mod 6), altså x ≡ 4 (mod 6). (Når dette er opfyldt vil løsningen som indsættes på x’s plads ‘gå ud med’ højresiden af kongruensen, og −5 ≡ 1 (mod 6) vil således stadig være opfyldt.) Men er alle x med x ≡ 4 (mod 6) så en løsning? Det er de faktisk og for at vise dette antager vi, at x ≡ 4 (mod 6). Af sætning 3.7 (ii), med 5 ≡ 5 (mod 6) og x ≡ 4 (mod 6), følger at 5 · x ≡ 5 · 4 (mod 6) ⇔ 5x ≡ 20 (mod 6) ⇔ 5x ≡ 2 (mod 6), hvilket viser at alle sådanne x’er opfylder kongruensen. Altså er løsningerne af denne type de følgende . . . , −20, −14, −8, −2, 4, 10, 16, 22, . . . Som vi skal se i det følgende afsnit spiller sætning 3.13 også en rolle i beviset for den kinesiske restsætning. 3.2 Den kinesiske restsætning Der vides ikke meget om Sun Zi og hans gang på Jorden udover det skrift, Sunzi suanjing (Mester Suns matematiske manual), han har efterladt sig og som er gået i arv imellem de kinesiske herskere igennem århundreder. Som sagt menes Sun Zi at have levet i det 5. århundrede, men man er langt fra sikker. Studier af hans skrift tyder dog på, at dette tidligst kan dateres til år 280 og senest til år 473. Den bedste måde at danne sig et indtryk af Sun Zi på er nok ved at studere hans skrevne ord, og i særdeleshed forordet til skriftet. Mester Sun siger: Matematik styrer længden og bredden af himlene og Jorden; påvirker alle skabningers liv; former alfa og omega af de fem konstante dyder [gavmildhed, retfærdighed, sømmelighed, viden og oprigtighed]; agerer som forældrene af yin og ⋄
50 Tre vigtige sætninger for RSA Figur 3.1 Forordet fra værket Sunzi suanjing som dateres til et sted mellem år 280 og år 473.
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6: I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9: 1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11: 1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108:
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110:
102
Page 111 and 112:
104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?