RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

2.3 Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning 31 ombytning af primdivisorerne). Hvis 6 således skal udtrykkes som et produkt af primtal kan det altså kun udtrykkes som 2 · 3 (eller 3 · 2). Dette resultat er en del af aritmetikkens fundamentalsætning. Men for at vise den skal vi bruge et lemma. For at bevise dette lemma skal vi imidlertid have fat i en speciel form for bevisteknik kaldet bevis ved induktion eller induktionsprincippet. Vi kender allerede to former for bevisteknikker, den direkte og den indirekte (bevis ved modstrid), og induktionsprincippet er altså en tredje. Bevis ved induktion bruges ofte til at vise at en given sætning er sand for alle naturlige tal. Det første kendte eksempel på bevis ved matematisk induktion findes i den italienske matematiker Francisco Maurolicos (1494- 1575) Arithmeticorum libri duo fra 1575. Maurolico brugte induktion til at vise, at der altid gælder at summen af de første n ulige naturlige tal er n 2 . Hvis man kigger på de første eksempler er det jo rimeligt at antage, at det forholder sig sådan: 1 = 1 2 1 + 3 = 2 2 1 + 3 + 5 = 3 2 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 2 Men en anden ting er selvfølgelig at vise det helt generelt. Ideen er, at hvis det gælder for n = 1, hvilket det som set ovenfor gør da 1 = 1 2 , så antager man at det gælder for n = k og kan man så vise det også gælder for n = k + 1, så må det gælde for alle n. Dette er induktionsprincippet. Tilfældet n = 1 kaldes for induktionsbasis og antagelsen n = k kaldes for induktionshypotesen. Det er vigtigt, at pointere at selve induktionsprincippet ikke er noget man kan eftervise, deraf navnet princip. I virkeligheden kan man tænke på det som en form for axiom, som indgår i grundlaget for de naturlige tal. Et billede som man kan have af induktionsprincippet inde i sit hoved, er det af uendeligt mange dominobrikker opstillet på en lang række. Hvis den første dominobrik, n = 1, vælter, så vil også den næste, n = 2, vælte. Hvis dominobrik n = 2 vælter, så vil også dominobrik n = 3 vælte. Og hvis n = 3 vælter, så vil også n = 4 vælte og så kører maskinen. Denne ‘dominoeffekt’ kan vi også tænke på ‘induktionsmotoren’. Vores induktionsbasis vil her være at den første dominobrik vælter, n = 1, hvilket vi vil kunne stadfæste ved rent faktisk at vælte den. Induktionshypotesen er at den k’te dominobrik også vælter, n = k. Hvis vi kan godtgøre, at dominobrik nummer k + 1 ligeledes vælter, så siger induktionsprincippet, at alle brikkerne vælter. Men lad os nu se om vi kan vise Maurolico’s sætning ved hjælp af induktionsprincippet. .
32 Elementær talteori Eksempel 2.24 (Induktionsbevis for Maurolicos sætning) Sætning: Summen af de første n ulige positive heltal er n 2 . Vores induktionsbasis er som sagt n = 1, altså at sætningen holder i det første tilfælde, hvilket den gør da 1 = 1 2 . Induktionshypotesen er at sætningen også holder i tilfældet n = k, hvilket vi kan opskrive som 1 + 3 + . . . + (2k − 1) = k 2 , da det k’te positive ulige heltal er givet ved 2k − 1, idet det jo bestemmes ved at lægge 2 til 1 k − 1 gange: 2(k − 1) + 1 = 2k − 1. Vi skal så vise resultatet for n = k+1, hvilket, da 2(k+1)−1 = 2k+1, vil sige 1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1) 2 , eller vi kan forklare det ved, at det k +1’te positive ulige heltal bestemmes ved at lægge 2 til 1 k gange, altså 2k + 1. Ideen med induktionshypotesen er, at det er en antagelse og man har således lov til at bruge den til at vise tilfældet n = k + 1. Vi kan derfor opskrive følgende: 1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + . . . + (2k − 1)] + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 . Dette viser, at tilfældet n = k + 1 følger fra induktionshypotesen (som blev anvendt ovenfor til at omskrive udtrykket). Da vores induktionsbasis er sand og tilfældet n = k + 1 følger fra induktionshypotesen for alle positive heltal k er sætningen ifølge induktionsprincippet sand for alle positive heltal n. ⋄ Og nu skulle vi så være klar til at bevise vores lemma ved brug af induktionsprincippet. Lemma 2.25 Hvis p er et primtal og m1, m2, . . . , mn er heltal således at p | m1m2 · · · mn, så gælder der, at p | mi for (mindst) et mi med 1 ≤ i ≤ n. Bevis For vores induktionsbasis ser vi altså på n = 1. Det er åbenlyst, at sætningen gælder i dette tilfælde, da produktet jo kun består af heltallet m1. Som vores induktionshypotese antager vi, at sætningen også gælder for n = k. Kan vi nu vise, at den ligeledes gælder for n = k + 1 er vi i hus. Vi antager altså, som sætningen forudsætter, at p | m1m2 · · · mkmk+1 og sætter derefter m = m1m2 . . . mk. Vi skal så vise, at p går op i et af
Page 1 and 2: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4: Roskilde University, Department of
Page 5 and 6: I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9: 1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11: 1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15: 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 40 and 41: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 42 and 43: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90:
82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92:
84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94:
86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96:
88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98:
90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100:
92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102:
94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104:
96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106:
98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108:
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110:
102
Page 111 and 112:
104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?