RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

48 Tre vigtige sætninger for RSA
Vi kan nu vise en sætning om under hvilke forudsætninger et heltal a i
hvert fald har en invers ā.
Sætning 3.13
Lad a og m > 1 være heltal. Hvis a og m er indbyrdes primiske da gælder,
at den inverse, ā, af a modulo m eksisterer og er entydigt fastlagt modulo
m.
Med entydigt fastlagt modulo m forstås at der findes et entydigt positivt
heltal ā < m som er en invers af a modulo m og at enhver anden invers
af a modulo m er kongruent med ā modulo m (jævnfør eksempel 3.11).
Vi skal som sætningen siger bevise såvel eksistens som entydighed.
Bevis
Vi begynder med eksistensen. Da sfd(a, m) = 1 findes der ifølge Bézouts
identitet, sætning 2.17, heltal s og t således, at sa + tm = 1. Da m > 1
kan vi opskrive dette som sa + tm ≡ 1 (mod m). Imidlertid har vi jo, at
tm ≡ 0 (mod m), hvorfor vi må have, at sa ≡ 1 (mod m). Altså findes der
et heltal s, således at dette er den inverse, ā, af a modulo m.
Og så entydigheden. Vi antager, at der findes to heltal s og t som hver
især er indbyrdes primiske med a og som begge er inverse af a. Altså,
at sa ≡ 1 (mod m) og ta ≡ 1 (mod m). Det vil sige, at m | sa − 1 og
m | ta − 1. Hvis et tal går op i to andre tal, så går det også op i disse
to tals differens, altså har vi at m | (sa − 1) − (ta − 1) = sa − ta. Dette
er det samme som, at sa ≡ ta (mod m). Det følger af lemma 3.12, at
s ≡ t (mod m), hvilket var det vi ønskede at vise.
Vi ved fra eksempel 3.11, at −1 er en invers af 5 modulo 6. Men hvordan
havde vi selv kunne finde den inverse af 5 modulo 6, hvis vi ikke på
forhånd havde fået den givet? Følgende eksempel viser dette.
Eksempel 3.14
Med udgangspunkt i sætning 3.13 er det første vi kan bemærke, at der
eksisterer en invers af 5 modulo 6, idet heltallene 5 og 6 er indbyrdes
primiske, sfd(5, 6) = 1. Vi ved fra specialtilfældet af Bezouts identitet (se
side 29), at når to heltal a og b er indbyrdes primiske, så kan de opskrives
på formen 1 = sa + tb. I vores tilfælde har vi
1 = s5 + t6.
Heltallene s og t kan bestemmes ved at gå ‘baglæns’ gennem Euklids
algoritme. Men for at gøre dette må vi først gå forlæns, hvilket dog er
nemt gjort da tallene er så små:
6 = 5 · 1 + 1
5 = 5 · 1 + 0.
Vi får, som vi skulle, at største fællesdivisor er 1, og ved at gå ‘baglæns’
får vi, at
1 = 1 · 6 + (−1) · 5.