RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.2 Den kinesiske restsætning 49
Dette er imidlertid det samme som, at
−1 · 5 ≡ 1 (mod 6),
hvorfor −1 netop vil være en invers af 5 modulo 6. ⋄
Når vi kender en invers ā af a modulo m kan vi løse den lineære kongruens
ax ≡ b (mod m) ved at gange begge sider af kongruensen med ā. Lad os
se hvordan.
Eksempel 3.15
Vi vil løse den lineære kongruens 5x ≡ 2 (mod 6). Fra eksempel 3.14 ved
vi, at −1 er en invers til 5 modulo 6. Vi ganger derfor igennem med −1
−1 · 5x ≡ −1 · 2 (mod 6).
Da −5 ≡ 1 (mod 6) og −2 ≡ 4 (mod 6) må der gælde, at hvis x er en
løsning, så er x ≡ −2 ≡ 4 (mod 6), altså x ≡ 4 (mod 6). (Når dette er
opfyldt vil løsningen som indsættes på x’s plads ‘gå ud med’ højresiden
af kongruensen, og −5 ≡ 1 (mod 6) vil således stadig være opfyldt.)
Men er alle x med x ≡ 4 (mod 6) så en løsning? Det er de faktisk og
for at vise dette antager vi, at x ≡ 4 (mod 6). Af sætning 3.7 (ii), med
5 ≡ 5 (mod 6) og x ≡ 4 (mod 6), følger at
5 · x ≡ 5 · 4 (mod 6) ⇔ 5x ≡ 20 (mod 6) ⇔ 5x ≡ 2 (mod 6),
hvilket viser at alle sådanne x’er opfylder kongruensen. Altså er løsningerne
af denne type de følgende
. . . , −20, −14, −8, −2, 4, 10, 16, 22, . . .
Som vi skal se i det følgende afsnit spiller sætning 3.13 også en rolle i
beviset for den kinesiske restsætning.
3.2 Den kinesiske restsætning
Der vides ikke meget om Sun Zi og hans gang på Jorden udover det skrift,
Sunzi suanjing (Mester Suns matematiske manual), han har efterladt sig og
som er gået i arv imellem de kinesiske herskere igennem århundreder. Som
sagt menes Sun Zi at have levet i det 5. århundrede, men man er langt fra
sikker. Studier af hans skrift tyder dog på, at dette tidligst kan dateres til år
280 og senest til år 473. Den bedste måde at danne sig et indtryk af Sun
Zi på er nok ved at studere hans skrevne ord, og i særdeleshed forordet til
skriftet.
Mester Sun siger: Matematik styrer længden og bredden af himlene
og Jorden; påvirker alle skabningers liv; former alfa og omega
af de fem konstante dyder [gavmildhed, retfærdighed, sømmelighed,
viden og oprigtighed]; agerer som forældrene af yin og
⋄