RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.1 Kongruens 47
da 6 | 36 med rest r = 0. Og ifølge sætning 3.7 (ii) har vi
17 · 19 ≡ 5 · 1 (mod 6) ⇔ 323 ≡ 5 (mod 6).
En speciel type af kongruens, som Gauss også behandler i Arithmeticae,
er hvad der i dag kendes som lineær kongruens.
Definition 3.9: Lineær kongruens
Lad a, b og m være heltal med m ≥ 1. En kongruens af formen
ax ≡ b (mod m),
hvor x er en variabel, kaldes for en lineær kongruens.
Et særtilfælde er når b i ovenstående definition er lig 1. De x’er der opfylde
denne situation viser sig, hvilket vi senere skal få et indtryk af, at være
særligt interessante, og har derfor sit eget navn.
Definition 3.10
Lad a og m være heltal med m > 1. Et heltal ā der opfylder, at
āa ≡ 1 (mod m),
kaldes den inverse af heltallet a modulo m.
Eksempel 3.11
Bemærk, at −1 er en invers af 5 modulo 6, idet
−1 · 5 ≡ 1 (mod 6).
Bemærk endvidere, at −1 ikke er det eneste heltal der er en invers til 5
modulo 6, faktisk er det kun ét ud af følgende:
. . . , −19, −13, −7, −1, 5, 11, 17, 23, . . .
(Altså er ethvert heltal kongruent med −1 modulo 6 også en invers af 5
modulo 6.) ⋄
Spørgsmålet er imidlertid, hvornår der eksisterer sådanne inverse. Sætning
3.13 giver et bud herpå, men først må vi have et lemma.
Lemma 3.12
Lad a, b, c og m være heltal med m ≥ 0. Hvis ac ≡ bc (mod m) og
sfd(c, m) = 1 da vil a ≡ b (mod m).
Bevis
At ac ≡ bc (mod m) er ifølge definitionen det samme som, at m | ac − bc =
c(a − b). Da der endvidere gælder, at sfd(c, m) = 1 har vi ifølge sætning
2.19, at m | a − b, altså at a ≡ b (mod m).
⋄