RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

3.4 Eulers sætning 61
positive heltal indbyrdes primiske med n = pq, det vil sige φ(n), må da
være givet ved:
φ(n) = (pq − 1) − (p + q − 2)
= pq − p − q + 1
= (p − 1)(q − 1)
= φ(p)φ(q).
Eksempel 3.31
Lad os igen kigge på heltallet 15. 15 kan faktoriseres op i produktet af de
to primtal 3 og 5. Altså har vi ifølge sætning 3.30 (ii), at
φ(15) = φ(3)φ(5) = (3 − 1)(5 − 1) = 2 · 4 = 8,
hvilket også stemmer overens med forrige eksempel. ⋄
Vi er nu klar til at formulere og bevise Eulers sætning.
Sætning 3.32: Eulers sætning
Lad n være indbyrdes primisk med m. Da gælder, at
n φ(m) ≡ 1 (mod m).
Bevis
Ligesom i beviset for Fermats lille sætning betragter vi en følge af heltal,
nærmere bestemt de φ(m) heltal ri der er indbyrdes primiske med m:
r1, r2, r3, . . . , r φ(m).
Disse ganger vi nu hver især med n:
nr1, nr2, nr3, . . . , nr φ(m).
Bemærk, at denne følge enten er en delfølge af følgen fra beviset for
Fermats lille sætning eller, i det tilfælde hvor m er et primtal, er lig denne
følge. Den kan altså ikke være mere omfattende. Da vi endvidere har at
m ∤ n (m og n er indbyrdes primiske) befinder vi os i samme situation som
i beviset for Fermats lille sætning og kan ved brug af samme argumenter
opskrive følgende sande udtryk:
nr1 · nr2 · nr3 · · · nr φ(m) ≡ r1 · r2 · r3 · · · r φ(m) (mod m).
Dette kan vi omskrive til
n φ(m) (r1 · r2 · r3 · · · r φ(m)) ≡ r1 · r2 · r3 · · · r φ(m) (mod m).
Da alle ri’erne, 1 ≤ i ≤ φ(m), er indbyrdes primiske med m kan vi
forkorte dem bort og få, at
hvilket var det vi skulle vise.
n φ(m) ≡ 1 (mod m),