RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.3 Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning 33
mi’erne for i = 1, . . . , k + 1. Vi kan gøre dette ved at betragte følgende
to tilfælde: (1) p | m og (2) p ∤ m.
(1) Hvis p | m har vi ifølge induktionshypotesen, at p | mi for et mi
med med 1 ≤ i ≤ n, og dermed gælder sætningen.
(2) Hvis derimod p ∤ m har vi, da p jo er et primtal og derfor ikke har
andre divisorer end 1 og sig selv, at sfd(p, m) = 1. Fra specialtilfældet af
sætning 2.17 (Bezouts identitet) ved vi, at der findes heltal s og t, således
at sp + tm = 1. Vi kan derfor opskrive følgende udtryk
mk+1 = 1 · mk+1 = (sp + tm)mk+1 = (smk+1)p + t(mmk+1).
Da p går op i begge udtryk på højre side af det sidste lighedstegn, p | p
og som forudsat ovenfor haves at p | mmk+1, har vi ifølge sætning 2.3 (i),
at p | mk+1.
I begge tilfælde går p altså op i et af mi’erne for 1 ≤ i ≤ k + 1 og
ifølge induktionsprincippet er resultatet altså sandt for alle positive heltal
n.
En til tider forekommende fejl er at lemma 2.25 forbliver sand, når
primtallet p udskiftes med et vilkårligt heltal. Men dette er åbenlyst ikke
sandt, for eksempel har vi, at 6 | 3 · 4, men 6 ∤ 3 og 6 ∤ 4. Der er altså i
lemma 2.25 tale om en helt speciel egenskab ved netop primtal.
Ved hjælp af lemma 2.25 er vi nu i stand til at vise vores hovedresultat,
aritmetikkens fundamentalsætning, som siger at ethvert heltal større end
1 kan opskrives entydigt som (1) enten et primtal eller (2) et produkt af
to eller flere primtal (ordnet efter størrelse).
Sætning 2.26: Aritmetikkens fundamentalsætning
Ethvert heltal m større end 1 kan skrives som et produkt af primtal.
Der gælder endvidere at dette produkt er entydigt bestemt, bortset fra
rækkefølgen af primtallene.
Beviset for aritmetikkens fundamentalsætning er heunder delt op i beviset
for eksistensen og beviset for entydigheden.
Bevis
Vi begynder med eksistensen, altså at ethvert heltal større end 1 har en
primfaktorisering, eller med andre ord at det kan skrives som et produkt
af primtal. Beviset føres ved modstrid, hvorfor vi begynder med at antage,
at der findes heltal som ikke kan skrives som et produkt af primtal. Der må
da være et mindste af disse, dette kalder vi m. Heltallet m kan ikke selv
være et primtal, idet ethvert primtal jo i sig selv er et produkt af primtal.
Altså må m være et sammensat tal. Det vil sige m = ab, hvor både a og b
er heltal mindre end m. Da m jo per antagelse er det mindste heltal som
ikke kan skrives som produkt af primtal må både a og b nødvendigvis
kunne skrives som produkter af primtal. Men så kan m = ab jo også
skrives som et produkt af primtal. Altså har vi en modstrid og antagelsen
om at der findes heltal som ikke kan skrives som et produkt af primtal
må forkastes.