RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

2.2 Euklids algoritme og Bézouts identitet 29
Bevis
Fra sætning 2.15 ved vi at sfd(a, b) = rn. Fra samme sætning ved vi
ligeledes, at
rn−2 = rn−1qn−1 + rn ⇔ rn = rn−2 − rn−1qn−1.
Det betyder, at vi kan opskrive sfd(a, b) på formen
sfd(a, b) = s ′ rn−1 + t ′ rn−2,
hvor s ′ = −qn−1 og t ′ = 1. Vi kan dernæst udtrykke rn−1 i termer af
rn−2 og rn−3. Fra Euklids algoritme (algoritme 2.14) har vi, at
Vi får da, at
rn−3 = rn−2qn−2 + rn−1 ⇔ rn−1 = rn−3 − rn−2qn−2.
hvilket kan skrives på formen
sfd(a, b) = s ′ (rn−3 − rn−2qn−2) + t ′ rn−2,
sfd(a, b) = s ′′ rn−2 + t ′′ rn−3,
hvor s ′′ = t ′ − s ′ qn−2 og t ′′ = s ′ . Fortsætter vi på denne måde vil vi til
sidst opnå et udtryk på den ønskede form, sfd(a, b) = sa + tb, med udtryk
for værdierne af s og t.
Eksempel 2.18
I det tilfælde hvor vi med Euklids algoritme ovenfor beregnede sfd(414, 662) =
2 kan vi opskrive følgende:
2 = 166 − 82 · 2 = 1 · 166 + (−2) · 82
= 1 · 166 + (−2) · (248 − 166 · 1) = (−2) · 248 + 3 · 166
= (−2) · 248 + 3 · (414 − 248 · 1) = 3 · 414 + (−5) · 248
= 3 · 414 + (−5) · (662 − 414 · 1) = (−5) · 662 + 8 · 414.
Altså kan vi ved at indsætte ‘baglæns’ i Euklids algoritme bestemme
de to heltal s og t til henholdsvis −5 og 8 således, at sfd(414, 662) kan
udtrykkes som en sum af netop 414 og 662:
sfd(414, 662) = (−5) · 662 + 8 · 414.
I det tilfælde hvor a og b er indbyrdes primiske, altså sfd(a, b) = 1, har vi
1 = sa + tb. Og det er netop dette specialtilfælde af Bézouts identitet som
vi skal bruge i næste afsnit. Med udgangspunkt i Bézouts identitet kan vi
også vise følgende mindre sætning, som vi senere skal bruge i kapitel 3.
⋄