RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

84 RSA-algoritmen
Da der for M i RSA er forudsat, at 0 < M < n har vi, at p og q ikke begge
kan være faktorer i M, for i så fald ville M jo blive større end eller lig n.
Altså har vi ifølge antagelsen om at q | M, at p ∤ M. Da p er et primtal
følger heraf, at p og M er indbyrdes primiske. Men når sfd(p, M) = 1 har
vi ifølge Fermats lille sætning, sætning 3.25, at
C d ≡ M · (M (p−1) ) k(q−1) ≡ M · 1 k(q−1) ≡ M (mod p),
og dermed er vi færdige.
Vi har nu altså vist korrektheden af RSA-algoritmen i de to tilfælde
hvor n og M henholdsvis er og ikke er indbyrdes primiske, det vil sige at
der altid vil gælde, at
C d ≡ M (mod n).
Lad os nu se et eksempel på en kryptering og en dekryptering ved brug
af RSA-algoritmen.
4.3 Et udførligt eksempel
Vi skal her illustrere hvad sætning 4.2 fortæller os ved at vise hvordan
et RSA-kryptosystem fungerer. For nemhedens og illustrationens skyld
vil vi operere med små tal. Igen kigger vi på den situation, hvor Alice
vil sende en besked til Bob. Når Alice skal kryptere sin besked skal hun
bruge nøglen, KE = (nB, eB), som Bob har offentliggjort. Alice kender
kun talværdierne i dette nøglepar, hun ved ikke hvordan Bob er kommet
frem til dem og hvilke primtal der gemmer sig bag.
Selv om Alice ikke ved det kan vi jo selvfølgelig godt få det at vide.
Bob har valgt de to primtal
p = 53 og q = 61,
hvilket har givet ham (og Alice) følgende heltal n:
n = p · q = 53 · 61 = 3233.
Dette er altså værdien nB i den offentlige nøgle, den anden værdi, eB,
skal være et tal som er indbyrdes primisk med φ(n), hvilket jo er givet
ved:
φ(n) = (p − 1)(q − 1) = (53 − 1)(61 − 1) = 52 · 60 = 3120.
Der skal altså bestemmes et tal e som opfylder, at
sfd(e, φ(n)) = sfd(e, 3120) = 1
og det kan man gøre ved at prøve sig frem. Hvis man vælger et primtal
kan man gøre dette lidt nemmere for sig selv, idet man da blot behøver at
teste om primtallet er en divisor i φ(n) og er det ikke det vil kravet være