RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

4.6 Opgaver 99 Opgave 60 Opskriv C −1 (y) for C(x) = (2x + 3) modulo 30, og dekrypter den krypterede besked fra forrige opgave (opgave 59). Opgave 61 Forklar med dine egne ord RSA-algoritmen. Opgave 62 Forklar hvad der i RSA forstås ved følgende: n, p, q, M, C, KE, KD, d, E(M), D(M), KE = (nA, eA), KE = (nB, eB), KD = (nA, dA), KD = (nB, dB). Opgave 63 Forklar hvad der i RSA forstås ved følgende udtryk, hvor de indgår i algoritmen samt hvad deres formål er: • n = p · q, • sfd(e, φ(n)) = 1, • sfd(e, (p − 1)(q − 1)) = 1, • C ≡ E(M) ≡ M e (mod n), • ed ≡ 1 (mod (p − 1)(q − 1)), • D(C) ≡ C d (mod n). Opgave 64 Med udgangspunkt i opgave 61 tegn da en figur af, hvordan RSA fungerer (jævnfør eventuelt figur 1.2). Påfør dernæst, med udgangspunkt i opgaverne 62 og 63, de forskellige parametre og formler på figuren. Opgave 65 Med udgangspunkt i KE = (nA, eA), KE = (nB, eB) og KD = (nA, dA), KD = (nB, dB) beskriv da en situation, hvor Alice først sender en RSAkrypteret besked til Bob og hvor Bob bagefter sender en RSA-krypteret besked tilbage til Alice. Opgave 66 Formuler den i afsnit 4.3 anvendte modulo-udregning af tal med store potenser som en algoritme. Opgave 67 RSA-krypter eller -dekrypter følgende beskeder med de i afsnit 4.3 anvendte parametre: a. RIVEST b. SHAMIR c. 0774 0486 1515. d. 1533 1695 0416. e. 0396 0083 1884. f. 2844 2760 2354.
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsnit 4.3 anvendte vi sammen med p = 53 og q = 61 e-værdien 23. Imidlertid er valget af e ikke entydigt. a. Godtgør ved hjælp af Euklids algoritme at e = 17 også opfylder de givne krav, altså at sfd(e, φ(n)) = sfd(17, 3120) = 1. b. (Ind)krypter beskeden RIVEST ved brug af den offentlige nøgle KE = (3233, 17). c. (Ind)krypter beskeden SHAMIR ved brug af den offentlige nøgle KE = (3233, 17). Opgave 69 Når vi i opgave 68 har udskiftet e-værdien i den offentlige (ind)krypteringsnøgle, må vi også udskifte d-værdien i den private dekrypteringsnøgle. a. Arbejd dig baglæns igennem Euklids algoritme for sfd(17, 3120) for at bestemme værdien af d. b. Dekrypter beskeden 2770 1471 1542 ved brug af den private nøgle KD = (3233, d). c. Dekrypter beskeden 0572 1695 0416 ved brug af den private nøgle KD = (3233, d). Opgave 70 Hvis man kender p + q kan φ(n) beregnes ved at trække p + q fra n og lægge 1 til. Med udgangspunkt i φ(n) = (p − 1)(q − 1) vis da dette. Opgave 71 Hvis man kender p − q kan man udregne φ(n) fra p − q ved formlen: φ(n) = (n + 1) − � (p − q) 2 − 4n. Med udgangspunkt i resultatet fra opgave 70 vis da, hvordan man kommer frem til denne formel. (Vink: Du skal benytte dig af tricket med at omskrive p + q til � (p + q) 2 samt at skrive 2pq som −2pq + 4pq.) Opgave 72 Diffie-Hellman-Merkel nøgle-udveksling (se beskrivelsen i afsnit 1.3) baserer sig på følgende matematiske envejsfunktion: Y x (mod P ), hvor Y og P , med Y og Bob aftaler til at begynde med. Antag, at Alice og Bob aftaler parametrene Y = 7 og P = 11 og at Alice derefter vælger sin hemmelige x-værdi, tidligere kaldet a, til at være 3 og at Bob sætter sin, tidligere kaldet b, til at være 6. a. Udregn nu henholdsvis Alices og Bobs udtryk: 7 3 (mod11) og 7 6 (mod11). Alice og Bob udveksler nu deres resultater, tidligere kaldet α og β, og udregner henholdsvis β 3 (mod 11) og α 6 (mod 11).
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15:
1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27:
1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29:
2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31:
2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33:
2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47:
2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49:
2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51:
3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53:
3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55:
3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88: 80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116: 108
Page 117: 110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?