RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

4.1 Et gensyn med Cæsar-kryptering 79 Agency at kontakte dem. Adleman havde aldrig før hørt om NSA, statens hemmelige spion-apparatur (husk, at dette var i ’70’erne); spioner ringede og sagde, at den amerikanske stat klassificerede kryptografi i samme kategori som våben og ammunition, og hvis de sendte deres artikel udenfor landets grænser ville de blive retsforfulgt for ulovlig våbenhandel. Men det var for sent! Ånden var allerede ude af flasken. Mod slutningen af ’70’erne var kryptografikonferencer blomstret op over hele USA og Europa – kryptografi var blevet sin egen matematiske disciplin. »Lige siden vores artikel udkom, er det aldrig holdt op igen«, siger Adleman, »videnskabeligt, forretningsmæssigt, politisk.« (Bass; 1995, oversat fra engelsk) Første gang eksistensen af Rivest, Shamir og Adlemans arbejde blev offentliggjort var i 1977, hvor det indgik i Martin Gardners sædvanlige indslag Mathematical Games i tidsskriftet Scientific American. Gardner præsenterede under overskriften »A New Kind of Cipher that Would take Millions of Years to Break« en kryptotekst og den tilhørende offentlige nøgle som havde været brugt til at kryptere den med, nemlig heltallet n = 1143816257578888676692357799761466120102182 9672124236256256184293570693524573389783059 7123563958705058989075147599290026879543541, et tal på 129 cifre. Gardner udfordrede sine læsere til at primfaktorisere dette tal og derpå bryde koden. Måden hvorpå selve krypteringsalgoritmen (RSA) fungerede beskrev Gardner dog ikke i sin artikel, men henviste i stedet sine læsere til de tre MIT-forskere for en beskrivelse af dette. Rivest, Shamir og Adleman modtog over tretusinde breve fra læsere af Gardnes kolonne og det var blandt andet disse breve som hobede sig op på Rivests kontor. De tre forskere besvarede dog ikke brevene med det samme, idet de gerne ville have indsendt en ansøgning om patentrettighederne for deres algoritme først. Da dette var gjort blev der holdt en lille højtidelighed på MITs institut for datalogi, hvor Rivest, Shamir og Adleman sørgede for pizza og øl og de indbudte, lige fra professorer til studerende, puttede tekniske beskrivelser af RSA-algoritmen i konvolutter til læsere af Scientific American. Inden vi skal se, hvad det var for en algoritme som læserne af Gardners kolonne modtog med posten, skal vi lige kaste endnu et blik på Cæsar-kryptering og i den forbindelse se, hvordan man kan formulere denne krypteringsprocedure i termer af modulo-regning. Ligeledes tjener dette gensyn til at minde os om, hvilke krav man bliver nødt til at stille til de anvendte kryptosystemer. 4.1 Et gensyn med Cæsar-kryptering Ved hjælp af modulo-regning kan vi beskrive Cæsar-kryptering matematisk. Det første vi gør er at opstille et skema indeholdende de 29 bogstaver og bindestreg. Tabel 4.1 indeholder et sådant alfabet. Vi kan nu lade Cæsar-kryptering være repræsenteret af en funktion C, som til ethvert
80 RSA-algoritmen – → 00 F → 06 L → 12 R → 18 X → 24 A → 01 G → 07 M → 13 S → 19 Y → 25 B → 02 H → 08 N → 14 T → 20 Z → 26 C → 03 I → 09 O → 15 U → 21 Æ → 27 D → 04 J → 10 P → 16 V → 22 Ø → 28 E → 05 K → 11 Q → 17 W → 23 Å → 29 Tabel 4.1 Nummerering af de store bogstaver i alfabetet samt bindestreg. ikke-negativt heltal x mindre end eller lig 29 knytter et andet heltal C(x) ∈ {00, 01, . . . , 29} ved formlen C(x) = (x + 3) modulo 30. I den krypterede besked bliver bogstavet repræsenteret ved x altså udskriftet med bogstavet repræsenteret ved x + 3 modulo 30. Lad os se på eksemplet fra afsnit 1.1. Eksempel 4.1 Vi har altså igen beskeden TERNINGERNE ER KASTET, men i stedet for som sidste gang at oversætte den direkte til bogstaverne tre pladser længere fremme i alfabetet oversætter vi den nu til tallene fra tabel 4.1. Vi får 20 05 18 14 09 14 07 05 18 14 05 05 18 11 01 19 20 05 20. Man begynder dernæst fra en ende af: C(20) = (20 + 3) modulo 30 = 23, som svarer til W i tabellen. Man forsætter så således indtil man får den krypterede talbesked: 23 08 21 17 12 17 10 08 21 17 08 08 21 14 04 22 23 08 23, som ved hjælp af tabellen oversættes til WHUQLQJHUQH HU NDVWHW. Det smarte ved at lave Cæsar-kryptering om til matematik på denne måde bliver dog først rigtig tydeligt når man i forbindelse med enten kryptering eller dekryptering bliver nødt til at tælle forfra eller bagfra i alfabetet. Lad os antage at modtageren af Cæsars krypterede besked sender beskeden ØV tilbage. Oversættelsen ifølge tabellen bliver 28 22. Krypteringen af dette bliver: C(28) = (28 + 3) modulo 30 = 01, C(22) = (22 + 3) modulo 30 = 25, hvilket giver AY. ⋄
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4:
Roskilde University, Department of
Page 5 and 6:
I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9:
1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11:
1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13:
1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 14 and 15:
1.2 Nøgle-distribueringsproblemet
Page 16 and 17:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19:
1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27:
1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29:
2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31:
2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33:
2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 34 and 35:
2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 36 and 37: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65: 3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67: 3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69: 3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71: 3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73: 3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 78 and 79: 3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81: 3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82: 3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85: 78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 89 and 90: 82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92: 84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94: 86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96: 88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98: 90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100: 92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102: 94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104: 96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106: 98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108: 100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110: 102
Page 111 and 112: 104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114: 106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116: 108
Page 117: 110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?