RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

More documents

Recommendations

Info

1.2 Nøgle-distribueringsproblemet 7 Babbage knækkede det 300 år gamle Le Chiffre Indéchiffrable (Vigenèrekoden) og Rejewski og Turing fik bugt med tyskernes frygtindgydende Enigmakode. Det synes altså at være matematikerne der bryder de ‘ubrydelige’ koder. Men er det også matematikerne som laver de ‘ubrydelige’ koder? Nej, historisk set lader det ikke til at have forholdt sig sådan. I løbet af 1970’erne begyndte der imidlertid at tegne sig et nyt billede, matematikerne syntes at skifte lejr, fra kryptoanalytikernes til kryptografernes. Og i den del af kryptografiens historie som vi skal beskæftige os med i dette undervisningsmateriale er det netop matematikere, herunder en speciel form for matematiske dataloger, som er ophavsmænd til de (indtil videre) ubrydelige koder. 1.2 Nøgle-distribueringsproblemet Samtlige af de systemer vi har diskuteret ovenfor er alle underlagt et og samme problem: Problemet med distribution af de private nøgler, eller nøgledistribueringsproblemet som det også kaldes. For eksempel skulle man i de monoalfabetiske kryptosystemer kende den funktion som definerede substitutionerne. I de polyalfabetiske kryptosystemer måtte man vide hvordan man varierede imellem de forskellige substitutionsalfabeter. For at anvende Enigma-koden måtte man kende den pågældende dagsnøgle angivende startpositionen for rotorerne, deres indbrydes rækkefølge samt ombytningerne i den elektriske tavle. Og i DES skulle man kende det naturlige tal som definerede den anvendte scrambler-funktion. Inden for kryptografien tager man ofte udgangspunkt i at to personer, altid kaldet Alice og Bob, ønsker at udveksle en besked. En tredje person ved navn Eve ønsker så at opsnappe og læse denne besked. (Navnene Alice og Bob er selvfølgelig valgt på grund af deres forbogstaver A og B. Navnet Eve kommer af det engelske ord eavesdropper, som er en betegnelse for en person der smuglytter.) Nøgle-distribueringsproblemet kan nu kort skitseres som følger: Hvis Alice og Bob ønsker at udveksle en hemmelig besked, må afsenderen, Alice, kryptere denne. For at Alice kan kryptere beskeden må hun bruge en nøgle – en nøgle som i sig selv er en hemmelighed. Men hvordan får Bob sendt den hemmelige nøgle til Alice, sådan så hun kan sende den hemmelige besked til ham? Kort sagt, for at Alice og Bob kan udveksle en hemmelighed (den krypterede besked) må de allerede dele en hemmelighed (nøglen). Lige meget hvor sikre systemerne beskrevet i forrige afsnit måtte synes at være er de alle underlagt dette problem med distribuering af de hemmelige private nøgler. Efterhånden som kravet om sikkerhed, det vil sige efterspørgslen på sikre kryptosystemer, voksede op igennem de 20. århundrede i takt med den øgede digitalisering, og i øvrigt også den øgede globalisering, blev problemet med distribuering af nøgler mere og mere presserende. Da telefoner kan blive aflyttet og post kan blive opsnappet er den eneste sikre måde at udveksle private nøgler på at gøre dette fra hånd til hånd, for eksempel ved at de personer som ønsker at udveksle hemmelige beskeder mødes med hinanden. Imidlertid er det ikke altid at personer som ønsker at gøre forretninger med hinanden har mødt hinanden eller har mulighed for
8 Introduktion at møde hinanden inden der skal kommunikeres på sikker vis. En tidligere ofte valgt løsning på dette problem var derfor at sende en kurer afsted med nøglen. Var der eksempelvis tale om en oversøisk bankforretning ville banken sende en betroet kurer medbringende en krypteringsnøgle afsted med fly til den pågældende kunde. For en stor bank som foretager mange internationale handler kan man nemt forestille sig hvilken horde af betroede kurerer som denne bank nødvendigvis må have til sin disposition. Det er ikke kun selve distibueringerne af nøgler der på denne vis som kan gå hen og skabe problemer, også omkostningerne forbundet hermed kan nemt blive en belastning. Nogle af de få der langt op i det 20. århundrede var i stand til at holde trit de jævnt stigende omkostninger forbundet med sikker kommunikation var regeringer og militær. Dette skyldtes til dels at de var mere erfarne, men i høj grad også at de havde flere midler til deres rådighed. Problemet for de private virksomheder var derfor åbenlyst: Hvis regeringer og militær havde så store udgifter forbundet med at opretholde sikre kommunikationsveje, hvordan ville situationen så ikke tage sig ud for dem selv? Men var der da virkelig ingen måde at komme udenom problemet med nøgle-distribution på? I de første tre fjerdedele af det 20. århundrede så det ikke sådan ud – i mere end totusinde år havde distribuering af private nøgler været en uomgængelig forudsætning for etableringen af et kryptosystem. I 1975 ændrede situationen sig imidlertid. 1.3 Offentlig-nøgle kryptering Problemet med nøgle-distribuering blev i teorien løst i 1975 på Stanford University. Her arbejdede et team bestående af tre unge forskere, Whitfield Diffie, Martin Hellman og Ralph Merkle, sammen om at løse dette ældgamle problem. Diffie studerede matematik ved MIT i Massachusetts, hvorfra han blev færdig i 1965. Herefter besad han diverse jobs relateret til computersikkerhed og i begyndelsen af 1970’erne havde han udviklet sig til en af de få uafhængige og frittænkende sikkerhedseksperter og kryptografer, som ikke var ansat af enten regeringen eller nogen af de store firmaer på området. Diffie var specielt fascineret og optaget af det begyndende Internet, eller APRANet (Advanced Research Projects Agency Net) som det blev kaldt da det i begyndelsen hørte under det amerikanske forsvar, og han var en af de første der så såvel mulighederne som nogle af problemerne med et sådant stort og internationalt omspændende computernetværk. Allerede tidligt i 1970’erne havde Diffie således indset, at potentialet af det netværk som senere skulle blive til Internettet ville være kraftigt reduceret, hvis ikke man her var i stand til at sende krypterede beskeder. Eksempelvis overvejede han problemet med at handle over dette net: Hvordan kunne en person som ønskede at købe noget sende sine kreditkort-informationer på en sådan måde, at det kun var forhandleren der kunne dechifrere disse? Diffie indså snart, at flaskehalsen i udviklingen og udbredelsen af et sådant netværk (Internettet) ville blive distributionen af nøgler, og det tilmed i et langt større omfang end man
Page 1 and 2: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK R
Page 3 and 4: Roskilde University, Department of
Page 5 and 6: I den af Undervisningsministeriet s
Page 8 and 9: 1 Introduktion Igennem tusinder af
Page 10 and 11: 1.1 Privat-nøgle kryptering 3 kryp
Page 12 and 13: 1.1 Privat-nøgle kryptering 5 Det
Page 16 and 17: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 9 h
Page 18 and 19: 1.3 Offentlig-nøgle kryptering 11
Page 24 and 25: 1.4 Lidt om algoritmer 17 Definitio
Page 26 and 27: 1.5 Opgaver 19 Opgave 6 Et eksempel
Page 28 and 29: 2 Elementær talteori Den elementæ
Page 30 and 31: 2.1 Division og største fællesdiv
Page 32 and 33: 2.2 Euklids algoritme og Bézouts i
Page 38 and 39: 2.3 Primtal og aritmetikkens fundam
Page 44 and 45: 2.4 Jagten på større og større p
Page 46 and 47: 2.5 Opgaver 39 1996 været holdt af
Page 48 and 49: 2.5 Opgaver 41 Opgave 24 Anvend Euk
Page 50 and 51: 3 Tre vigtige sætninger for RSA Fo
Page 52 and 53: 3.1 Kongruens 45 Definition 3.1: Ko
Page 54 and 55: 3.1 Kongruens 47 da 6 | 36 med rest
Page 56 and 57: 3.2 Den kinesiske restsætning 49 D
Page 58 and 59: 3.2 Den kinesiske restsætning 51 y
Page 60 and 61: 3.3 Fermats lille sætning 53 Ved a
Page 62 and 63: 3.3 Fermats lille sætning 55 Til v
Page 64 and 65:
3.3 Fermats lille sætning 57 som e
Page 66 and 67:
3.4 Eulers sætning 59 jurist og af
Page 68 and 69:
3.4 Eulers sætning 61 positive hel
Page 70 and 71:
3.4 Eulers sætning 63 Eksempel 3.3
Page 72 and 73:
3.5 Uløste problemer i talteori 65
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
3.6 Opgaver 71 Opgave 36 Undersøg
Page 80 and 81:
3.6 Opgaver 73 med dens eksponenter
Page 82:
3.6 Opgaver 75 Opgave 55 (Historisk
Page 85 and 86:
78 RSA-algoritmen kandidater til en
Page 87 and 88:
80 RSA-algoritmen - → 00 F → 06
Page 89 and 90:
82 RSA-algoritmen Det første vi g
Page 91 and 92:
84 RSA-algoritmen Da der for M i RS
Page 93 and 94:
86 RSA-algoritmen (og Alice) har f
Page 95 and 96:
88 RSA-algoritmen Dette tal kan udr
Page 97 and 98:
90 RSA-algoritmen universiteterne o
Page 99 and 100:
92 RSA-algoritmen mindelig (ind)kry
Page 101 and 102:
94 RSA-algoritmen på at modbevise
Page 103 and 104:
96 RSA-algoritmen efterlader os med
Page 105 and 106:
98 RSA-algoritmen realiseringen af
Page 107 and 108:
100 RSA-algoritmen Opgave 68 I afsn
Page 109 and 110:
102
Page 111 and 112:
104 Afsluttende essay-opgave og udv
Page 113 and 114:
106 Afsluttende essay-opgave hensyn
Page 115 and 116:
108
Page 117:
110 Litteratur New Trends in the Hi
show all

RSA og den heri anvendte matematiks historie - Institut for Natur ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?